Μενού Κλείσιμο

Άπειρο – Απειροστό – Όριο

Η έννοια του απείρου.

Το Άπειρο είναι μία έννοια με ιδιαίτερη γοητεία, που προβλημάτισε τον άνθρωπο εδώ και χιλιάδες χρόνια. Είναι μια «οντότητα» που έχει δημιουργήσει πολλά παράδοξα και έχει πυροδοτήσει πολλές συζητήσεις.

Ο μεγάλος προσωκρατικός φιλόσοφος Αναξίμανδρος ήταν ο πρώτος που αναφέρθηκε στο άπειρο, λέγοντας ότι αυτό είναι μια οντότητα απροσδιόριστη, σταθερή και αμετάβλητη, η αρχή του Κόσμου και η κατάληξή του.

Ο Pascal είχε πει «Γνωρίζουμε την ύπαρξή του αλλά αγνοούμε τη φύση του».
Σήμερα θεωρούμε ότι το άπειρο είναι ό,τι αντίκειται προς το πεπερασμένο.
Για παράδειγμα είναι γνωστό ότι η άποψη πως οι αριθμοί είναι πεπερασμένοι, είναι λάθος άρα οι αριθμοί είναι άπειροι.

Ενδιαφέρον παρουσιάζει η σχέση του απείρου με το πεπερασμένο και ιδιαίτερα η σχέση του απείρου με το μηδέν.

Θα προσπαθήσω να βοηθήσω στην προσέγγιση αυτής της οντότητας με τη βοήθεια των μαθηματικών. Για το σκοπό αυτό θα χρησιμοποιήσω την έννοια της μεταβλητής. Μεταβλητή ονομάζεται μια αριθμητική ποσότητα, η οποία έχει τη δυνατότητα να παίρνει διάφορες αριθμητικές τιμές. Για παράδειγμα όταν γράφουμε \inline \dpi{200} \fn_cm \large {\color{DarkBlue} x\in \mathbb{R}} εννοούμε ότι το x είναι μια μεταβλητή που παίρνει τιμές μέσα από το σύνολο των πραγματικών αριθμών (πραγματική μεταβλητή).  Με την ίδια λογική η ποσότητα \inline \dpi{200} \fn_cm \large {\color{DarkBlue} \nu \in \mathbb{N}} είναι μια μεταβλητή που παίρνει τιμές μέσα από το σύνολο των Φυσικών αριθμών.

Ας θεωρήσουμε λοιπόν την μεταβλητή \inline \dpi{200} \fn_cm \large {\color{DarkBlue} \nu \in \mathbb{N}=\left \{ 0,1,2,3,4,5,\cdots \right \}} η οποία θεωρούμε ότι ξεκινά από την τιμή 1 και στη συνέχεια παίρνει την τιμή 2, κατόπιν την τιμή 3 κ.ο.κ. διατρέχει όπως λέμε το σύνολο των Φυσικών αριθμών. Είναι προφανές ότι ενώ υπάρχει αρχική τιμή για το ν, δεν υπάρχει τελική τιμή. Αν προσπαθήσουμε να περιορίσουμε την αύξηση του ν για παράδειγμα από το αριθμό 23474832 θα αποτύχουμε διότι ο ν διατρέχοντας το \inline \dpi{200} \fn_cm \large {\color{DarkBlue} \mathbb{N}} θα πάρει την τιμή 23474833 καθώς και όλες τις επόμενες. Αυτή η αδυναμία που περιγράφω να «φράξουμε από πάνω» την μεταβλητή ν, δηλώνεται από τις εκφράσεις: «Το ν απειρίζεται» ή «Το ν τείνει στο άπειρο» και συμβολίζεται με «ν → ∞» ή με «lim ν = ∞».

Αν τώρα έχουμε την μεταβλητή \inline \dpi{200} \fn_cm \large {\color{DarkBlue} \kappa \in \mathbb{Z}=\left \{ 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots \right \}} ομοίως μπορούμε να θεωρήσουμε ότι κ → ∞. Εδώ όμως έχουμε και το ενδεχόμενο η μεταβλητή κ να διατρέχει το σύνολο των ακεραίων προς τα κάτω χωρίς να έχουμε τη δυνατότητα να την «φράξουμε προς τα κάτω». Στην περίπτωση αυτή λέμε για το κ ότι «τείνει στο -∞» ή ότι «απειρίζεται αρνητικά» και συμβολίζουμε «κ → -∞» ή με «lim k = -∞».

Βλέπετε ότι η πρώτη επαφή μας με την έννοια του απείρου στηρίχτηκε στην έννοια του απειροσυνόλου, όπως την όρισε ο Georg Cantor. Ο Cantor ήταν ο πρώτος που προσπάθησε και κατάφερε να προσεγγίσει και να εισχωρήσει στις έννοιες  αυτές. Διατύπωσε την άποψη πως υπάρχουν αμέτρητοι τρόποι για να προσεγγίσει κανείς το άπειρο. Αυτό που διαφοροποιεί κάθε περίπτωση είναι, κατά κάποιο τρόπο, η «ταχύτητα» προσέγγισης. Ο Cantor απέδειξε πως υπάρχουν άπειρα σύνολα τα οποία είναι απείρως μεγαλύτερα από άλλα μικρότερα άπειρα σύνολα. Διαίρεσε την έννοια του απείρου σε δύο ξεχωριστές υποκατηγορίες, διαχωρίζοντας δύο είδη απειροσυνόλων (συνόλων με άπειρα στοιχεία):

  • Τα αριθμήσιμα απειροσύνολα: Είναι αυτά που μπορεί να αρχίσει το μέτρημα των στοιχείων τους με τη βοήθεια μιας 1-1 αντιστοίχισης με τα στοιχεία του \dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \mathbb{N}} και
  • Τα υπεραριθμήσιμα απειροσύνολα: Είναι αυτά που είναι αδύνατο να αρχίσει το μέτρημα των στοιχείων. Τέτοιο σύνολο είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών \dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \mathbb{R}}. Ο λόγος που η μέτρηση γίνεται αδύνατη είναι ότι αν θεωρήσετε ένα στοιχείο του π.χ. το 1, δεν μπορείτε να πείτε ποιος είναι ο επόμενος πραγματικός αριθμός. (Πάντα ανάμεσα σε δύο πραγματικούς αριθμούς υπάρχουν άπειροι πραγματικοί αριθμοί).

Φαίνεται πως οι προσπάθειες του Cantor ήταν υπερβολικά έντονες, που στο τέλος διαταράχτηκε η λογική ισορροπία του και έζησε τα τελευταία του χρόνια σε ψυχιατρείο.

Ας θεωρήσουμε τα σύνολα:

  • \inline \dpi{200} \fn_cm \large {\color{DarkBlue} \mathbb{N}=\left \{ 0,1,2,3,4,5,\cdots \right \}} των Φυσικών αριθμών.
  • \inline \dpi{200} \fn_cm \large {\color{DarkBlue} \mathbb{N}_{1}=\left \{ 1,3,5,7,\cdots \right \}} των περιττών φυσικών αριθμών.
  • \inline \dpi{200} \fn_cm \large {\color{DarkBlue} \mathbb{N}_{2}=\left \{ 0,2,4,6,8,\cdots \right \}} των άρτιων φυσικών αριθμών.

Προφανώς \inline \dpi{200} \fn_cm \large {\color{DarkBlue} \mathbb{N}_{1}\cap \mathbb{N}_{2}=\varnothing } , αλλά και  \inline \dpi{200} \fn_cm \large {\color{DarkBlue} \mathbb{N}_{1}\cup \mathbb{N}_{2}=\mathbb{N}}  επομένως για τους πληθάριθμούς τους θα ισχύει \inline \dpi{200} \fn_cm \large {\color{DarkBlue} N\left ( \mathbb{N} \right )=N\left ( \mathbb{N}_{1} \right )+N\left ( \mathbb{N}_{2} \right )}. Τα σύνολα αυτά είναι απειροσύνολα, πράγμα που σημαίνει ότι η προηγούμενη σχέση μας δίνει ότι ( +∞ ) + ( +∞ ) = ( +∞ ) . Φαίνεται περίεργο όμως είναι αληθινό.

Μπορούμε να πάρουμε και ένα παράδειγμα προσέγγισης του απείρου από την γεωμετρία. Ας φανταστούμε μια ευθεία γραμμή. Όπως είναι γνωστό η ευθεία δεν έχει πέρατα (άκρα). Είναι λογικό να σκεφτούμε ότι τα πολύ απομακρυσμένα σημεία της βρίσκονται στο άπειρο.

Ο David Hilbert χρησιμοποίησε ένα γλαφυρό παράδειγμα για να δώσει σε μαθητές του να καταλάβουν την έννοια του απείρου. Το παράδειγμα αναφέρει τα εξής:

Ένα ξενοδοχείο το «Ξενοδοχείο Hilbert» έχει άπειρα δωμάτια που είναι όλα κατειλημμένα. Ένας ταξιδιώτης εμφανίζεται στη reception και ζητά δωμάτιο. Ο υπεύθυνος της reception του λέει πως δεν υπάρχει δωμάτιο, όμως επεμβαίνει ο Διευθυντής του ξενοδοχείου και βρίσκει τη λύση: Ειδοποιεί τον ένοικο του δωματίου 1 να μετακομίσει στο δωμάτιο 2, τον ένοικο του δωματίου 2 να μετακομίσει στο δωμάτιο 3, τον ένοικο του δωματίου 3 να πάει στο δωμάτιο 4, κ.ο.κ. αφού τα δωμάτια είναι άπειρα. Έτσι ο νέος πελάτης θα μπει στο δωμάτιο 1.
Για να δει αν κατάλαβαν οι μαθητές του, ρώτησε τι θα έπρεπε να γίνει στην περίπτωση που οι νεοφερμένοι ήταν μια παρέα που ήθελε 8 δωμάτια. Όπως είναι φυσικό πήρε την σωστή απάντηση: Ο ένοικος του 1 θα πάει στο 9, ο ένοικος του 2 στο 10, του 3 στο 11, κ.ο.κ.
Ο σοφός δάσκαλος στη συνέχεια ρώτησε τι έπρεπε να γίνει στην περίπτωση που οι νεοφερμένοι είναι άπειροι. Η σωστή απάντηση είναι: Ο ένοικος του 1 να μετακινηθεί στο 2, ο ένοικος του 2 να μετακινηθεί στο 4, του 3 στο 6, του 4 στο 8 κ.ο.κ. οπότε ελευθερώνονται 1+2+3+4+… δηλαδή άπειρα δωμάτια.


Η έννοια του απειροστού.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι έχουμε το σύνολο όλων των αριθμών που βρίσκονται μεταξύ 0 και 1. Το σύνολο  \inline \dpi{200} \fn_cm \large {\color{DarkBlue} \left ( 0,1 \right )=\left \{ x\in \mathbb{R}:0<x<1 \right \}\subset \mathbb{R}}  αυτό λέγεται ανοικτό διάστημα 0,1. Αν x είναι μια μεταβλητή μέσα στο διάστημα (0,1) η οποία διατρέχει τις τιμές του διαστήματος μειούμενη διαρκώς και χωρίς περιορισμό, είναι προφανές ότι η απόσταση (διαφορά) του x από το 0 μικραίνει διαρκώς, δεν πρόκειται όμως ποτέ να γίνει 0 αφού το 0 δεν περιέχεται στο διάστημα (0,1). Πρακτικά θα λέγαμε ότι η μεταβλητή x μπορεί να πλησιάσει στο 0 σε όσο μικρή απόσταση θέλουμε χωρίς κανένα περιορισμό. Αυτή η απόσταση που κάνει το x «να αγγίζει» το 0 χωρίς ποτέ να συμπέσει με αυτό λέγεται απειροστή απόσταση.

Για να γίνει κατανοητή η απειροστή απόσταση φανταστείτε τον ψύλλο του επόμενου σχήματος:

Ο ψύλλος θέλει από το Α να πάει στο Β με πηδήματα, με μία προϋπόθεση: κάθε φορά θα πηδάει στο μέσον της απόστασης που τον χωρίζει από το Β. Είναι βέβαιο ότι ο ψύλλος μπορεί να πλησιάσει το Β σε απειροστή απόσταση, όμως ποτέ δεν θα καταφέρει να το φτάσει.

Η έννοια του απειροστού καθώς και η έννοια της απειροστής μεταβολής είναι από τις σημαντικές έννοιες των μαθηματικών.


Η έννοια του ορίου.

Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μία πραγματική μεταβλητή x η οποία είναι \dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} x=\frac{1}{\nu }} , όπου το ν είναι φυσικός αριθμός και ο ν απειρίζεται. Τότε οι τιμές που παίρνει το ν είναι 1,2,3,4,5,6,7,… και όπως είναι φυσικό οι αντίστοιχες τιμές του x θα είναι \dpi{200} \fn_cm \frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\cdotsΕίναι προφανές ότι όσο το ν αυξάνει, τόσο το x μειώνει την τιμή του, χωρίς όμως να πετύχει ποτέ να γίνει μηδέν, αφού όσο κι αν μεγαλώσει ο παρονομαστής ο αριθμητής θα είναι πάντα 1 δηλαδή διάφορος του μηδενός.
Τη διαδικασία αυτή, το x να πλησιάζει σε απειροστές αποστάσεις, ολοένα και περισσότερο σε έναν αριθμό (εδώ το 0), χωρίς ποτέ να συμπέσει μ’ αυτόν, την λέμε σύγκλιση του x στο 0 και το 0 λέμε ότι είναι το όριο του x όταν το ν τείνει στο +∞. Συμβολικά θα έχουμε : x → 0  ή  lim x = 0  ή  \dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \lim_{\nu \rightarrow +\infty }x=0}  ή  \dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \lim_{\nu \rightarrow +\infty }x=0^{+}}

Με τον ανάλογο τρόπο η μεταβλητή \dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} y=-\frac{1}{\nu }}  συγκλίνει (τείνει) στο 0 από αρνητικές τιμές. Αυτό συμβολίζεται  \dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \lim_{\nu \rightarrow +\infty }x=0^{-}} .

Σύμφωνα με τα προηγούμενα ο ψύλλος της προηγούμενης ενότητας τείνει (συγκλίνει) στο σημείο Β

Το όριο μιας μεταβλητής είναι πολύ χρήσιμο διότι υποκαθιστά την τιμή της μεταβλητής στα σημεία που αυτή δεν ορίζεται. Για παράδειγμα η μεταβλητή  \dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \frac{1}{x}}  δεν ορίζεται στη θέση x=0, αλλά \dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty }  και  \dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty } .

Προφανώς τα ±∞ δεν είναι αριθμοί, όμως με την βοήθεια των μεταβλητών που απειρίζονται, των ορίων και των ιδιοτήτων τους προσδιορίζουμε τα αποτελέσματα των «πράξεων» με τα ±∞ και τους πραγματικούς αριθμούς.


Οι «πράξεις» με τα ±∞.

Πράξεις που επιτρέπονται.

  • ( + ∞ ) + ( + ∞ ) = ( + ∞ )
  • ( – ∞ ) + ( – ∞ ) = ( – ∞ )
  • ( + ∞ ) – ( – ∞ ) = ( + ∞ )
  • ( – ∞ ) – ( + ∞ ) = ( – ∞ )
  • x + ( + ∞ ) = ( + ∞ )   για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό x.
  • x – ( + ∞ ) = ( – ∞ )   για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό x.
  • x + ( – ∞ ) = ( – ∞ )   για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό x.
  • x – ( – ∞ ) = ( + ∞ )   για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό x.
  • ( + ∞ ) ± x = ( + ∞ )   για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό x.
  • ( – ∞ ) ± x = ( – ∞ )   για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό x.
  • ( + ∞ ) · ( + ∞ ) = ( + ∞ )
  • ( + ∞ ) · ( – ∞ ) = ( – ∞ )
  • ( – ∞ ) · ( + ∞ ) = ( – ∞ )
  • ( – ∞ ) · ( – ∞ ) = ( + ∞ )
  • x · ( + ∞ ) = \inline \dpi{200} \fn_cm \large {\color{DarkBlue} \left\{\begin{matrix} \left ( +\infty \right ) & , x> 0\\ \left ( -\infty \right ) & , x< 0 \end{matrix}\right.}
  • x · ( – ∞ ) = \inline \dpi{200} \fn_cm \large {\color{DarkBlue} \left\{\begin{matrix} \left ( -\infty \right ) & , x> 0\\ \left ( +\infty \right ) & , x< 0 \end{matrix}\right.}
  • \dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \frac{x}{\pm \infty }=0}  για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό x.
  • \dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue}\frac{\pm \infty }{x}=\left\{\begin{matrix} \mp \infty & , x< 0\\ \pm \infty & , x> 0 \end{matrix}\right. }

Μπορούμε να παρατηρήσουμε, βλέποντας τις προηγούμενες πράξεις, ότι η άποψη του Αναξίμανδρου για το αμετάβλητο του απείρου ήταν απόλυτα σωστή.
Αξίζει επίσης να αναφερθεί, στο σημείο αυτό, ότι πολλές από τις λογικές πλάνες και τα λογικά παράδοξα που κυκλοφορούν έχουν τη βάση τους στις πράξεις αυτές και στις έννοιες του απειροστού, του ορίου κ.τ.λ..

Πράξεις που δεν επιτρέπονται.

Οι επόμενες πράξεις δεν επιτρέπονται καθότι είναι απροσδιόριστο το αποτέλεσμά τους.

  • ( + ∞ ) + ( – ∞ )
  • ( – ∞ ) + ( + ∞ )
  • ( + ∞ ) – ( + ∞ )
  • ( – ∞ ) – ( – ∞ )
  • 0 · (± ∞ )
  • \dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \frac{\pm \infty }{\pm \infty }} .

 

error: Το περιεχόμενο προστατεύεται!