Μενού Κλείσιμο

Άλυτα Προβλήματα.

Από τις γεωμετρικές κατασκευές, υπάρχουν κάποιες που βασάνισαν επί αιώνες τους μαθηματικούς, χωρίς αποτέλεσμα. Αυτές είναι οι πιο κάτω:

(Για την ακρίβεια τα προβλήματα δεν είναι άλυτα αλλά έχει αποδειχτεί ότι είναι αδύνατα.)

  1. Ο τετραγωνισμός του κύκλου.

Δίνεται κύκλος. Να κατασκευαστεί (με κανόνα και διαβήτη) τετράγωνο που να έχει εμβαδό ίσο με το εμβαδό του κύκλου.

(Ο Αρχιμήδης (287-212 π.Χ.) χρησιμοποίησε την έλικα για να τετραγωνίσει τον κύκλο.)

 

 

  1. Το Δήλιο πρόβλημα.

Κατά τη διάρκεια ενός μεγάλου λοιμού στο Ιερό νησί της Δήλου, γύρω στο 430 π.Χ. οι Δήλιοι κατέφυγαν στο μαντείο των Δελφών προκειμένου να εξευμενίσουν τον θεό Απόλλωνα. Ο χρησμός του μαντείου, υποδείκνυε στους Δηλίους να κατασκευάσουν ένα κυβικό βωμό διπλάσιου μεγέθους από αυτόν που ήδη υπήρχε.

Άρα το γεωμετρικό πρόβλημα είναι: Να κατασκευαστεί (με κανόνα και διαβήτη) ένας κύβος με διπλάσιο όγκο από δοσμένο κύβο.

Μετά το χρησμό ο Πλάτων σχολίασε: οι θεοί θέλουν οι Έλληνες να ασχοληθούν περισσότερο με τη γεωμετρία και τα μαθηματικά.

(Ο Εύδοξος ο Κνίδιος (408-355π.Χ.) χρησιμοποίησε μία πολυωνυμική καμπύλη τετάρτου βαθμού για τον διπλασιασμό του κύβου.)

  1. Η τριχοτόμηση οξείας γωνίας.

Δίνεται οξεία γωνία ω. Να διαιρεθεί (με κανόνα και διαβήτη) σε τρεις ίσες γωνίες.

(Ο Ιππίας (4ος αιώνας π.Χ.) για την τριχοτόμηση γωνίας χρησιμοποίησε μία μη αλγεβρική καμπύλη.)

  1. Κατασκευή κανονικού ν-γώνου.

Αν δίνεται κύκλος (Ο,ρ) και φυσικός αριθμός ν, ζητείται να κατασκευαστεί κανονικό ν-γωνο εγγεγραμμένο στον κύκλο.

Ένα κανονικό ν-γωνο είναι κατασκευάσιμο με κανόνα και διαβήτη αν και μόνο αν όλοι οι περιττοί πρώτοι που διαιρούν το ν είναι πρώτοι του Fermat των οποίων τα τετράγωνα δεν διαιρούν το ν, δηλ. αν  


Όπου κ είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος,
p1, p2,… είναι διαφορετικοί πρώτοι της μορφής   και r = 0 ή 1.

error: Το περιεχόμενο προστατεύεται!