Ανάμεσα στους άπειρους αριθμούς που συναντάμε, υπάρχουν και κάποιοι που δεν είναι απλώς σύμβολα με ποσοτική σημασία, αλλά έχουν επί πλέον και ένα βαθύτερο νόημα, έχουν μια αυξημένη επιστημονική βαρύτητα. Τέτοιοι είναι π.χ. οι αριθμοί «0» – μηδέν, «1» – ένα, «π», «i» – γιώτ, «e». Αυτούς τους αριθμούς θα συμφωνήσουμε να τους αποκαλούμε σημαντικούς αριθμούς.
Προεξάρχουσα θέση στους σημαντικούς αριθμούς κατέχει ο αριθμός π (pi).
Το π είναι γνωστό επίσης ως σταθερά του Αρχιμήδη (δεν πρέπει να συγχέεται με τον αριθμό του Αρχιμήδη).
Σχεδόν όλος ο κόσμος γνωρίζει τον αριθμό «π», όμως οι ιδιότητες αυτού του πολύ σημαντικού συμβόλου δεν είναι αντίστοιχα διαδεδομένες. Τι κρύβει μέσα του αυτό το πασίγνωστο 3,14 και γιατί διαφέρει τόσο πολύ από τους… κοινούς αριθμούς;
Ο αριθμός π είναι είναι ο σταθερός πραγματικός αριθμός () που ισούται με το λόγο του μήκους ενός κύκλου προς τη διάμετρο του κύκλου.
Ο κύκλος ίσως είναι το πιο γνωστό γεωμετρικό σχήμα. Η ανάγκη του ανθρώπου να μελετήσει τον κύκλο και να αποκαλύψει τα «μυστικά» του γεννήθηκε πολλές χιλιετίες πριν. Στην προσπάθεια να μετρήσει το μήκος του κύκλου (δηλαδή το μήκος της περιμέτρου του) αποκάλυψε μια σημαντική ιδιότητα, ανεξάρτητα από το μέγεθος ενός κύκλου, το μήκος του είναι «περίπου» 3 φορές μεγαλύτερη από τη διάμετρό του.
Επειδή τα Μαθηματικά δεν ικανοποιούνται με την έννοια του «περίπου» έγιναν πάρα πολλές προσπάθειες να προσδιοριστεί η ακριβής τιμή αυτής της σταθεράς.
Από την αρχαία Αίγυπτο μέχρι και τον Αρχιμήδη, οι Βαβυλώνιοι, οι Αιγύπτιοι, οι Έλληνες, οι Άραβες και αρκετοί άλλοι αρχαίοι λαοί έκαναν αμέτρητες προσπάθειες ώστε να προσδιορίσουν το… πολυπόθητο «π».
Οι πρώτες δοκιμές εμφανίστηκαν στην Αίγυπτο, πριν από σχεδόν πέντε χιλιετίες. Ανάμεσα στις αναλογίες της Μεγάλης Πυραμίδας της Γκίζας, η οποία κατασκευάστηκε το 2589–2566 π.Χ, εμφανίζεται για πρώτη φορά ο αριθμός «π». Η περίμετρος της πυραμίδας (∼1760 πήχεις) ήταν περίπου 6,28 φορές μεγαλύτερη από το ύψος της (∼280 πήχεις). Ο αριθμός αυτός αντιστοιχεί στο διπλάσιο του «π» και είναι σχεδόν σίγουρο πως αυτό δεν είναι καθόλου τυχαίο, αφού για το εντυπωσιακό αυτό κτίσμα των Αιγυπτίων είχαν γίνει μελέτες, έτσι ώστε να τηρεί τις αναλογίες ενός κύκλου.
Οι Βαβυλώνιοι ήταν αυτοί που προσπάθησαν πρώτοι να δώσουν ένα αυστηρό μαθηματικό μοντέλο. Σε ένα δίσκο που χρονολογείται γύρω στο 1700 π.Χ. υπάρχει το κλάσμα 25/8 που ισούται με 3,125 και θεωρείται η πρώτη κοντινή προσέγγιση.
Λίγα χρόνια αργότερα, οι Αιγύπτιοι «βελτίωσαν» την σταθερά, με το κλάσμα .
Οι πρώτες γραπτές αποδείξεις, ή καλύτερα προσεγγίσεις, για την σταθερά του κύκλου ήρθαν αρκετά χρόνια αργότερα. Για αρκετούς αιώνες οι επιστήμονες στηρίζονταν εμπειρικά δεδομένα για να προσεγγίσουν το «π».
Ο πρώτος που επιχείρησε να υπολογίσει το μήκος ενός κύκλου χρησιμοποιώντας αυστηρά μαθηματικά, ήταν ο Αρχιμήδης. Βέβαια δεν είναι… δίκαιο, ο σπουδαίος αυτός Έλληνας μαθηματικός, να θεωρείται «ο εφευρέτης του π» όμως είναι σίγουρα ο πρώτος άνθρωπος που προσέγγισε σε τόσο μεγάλο βαθμό την γνωστότερη σταθερά του πλανήτη. Χρησιμοποιώντας εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα, στον κύκλο, κανονικά πολύγωνα που «εγκλωβίζουν» τον κύκλο, κατάφερε να δημιουργήσει έναν αλγόριθμο, αυξάνοντας το πλήθος των κορυφών, να προσεγγίσει ακόμα περισσότερο το «π» υπολογίζοντας το περίπου 3,1416.
Σήμερα, γνωρίζουμε ότι ο αριθμός «π» είναι αδύνατον να βρεθεί με ακρίβεια. Βέβαια, με τη βοήθεια νέων, σύγχρονων τεχνικών, έχουν υπολογιστεί πολλά εκατομμύρια δεκαδικών ψηφίων του, όμως ο αριθμός «π» έχει πια αποδειχτεί πως είναι ένας υπερβατικός αριθμός. Δηλαδή είναι αδύνατο να υπάρξει μη σταθερό πολυώνυμο με ρητούς συντελεστές, που να έχει ρίζα τον «π». Πιο απλά, το «π» ως υπερβατικός (1) είναι άρρητος αριθμός δηλαδή έχει άπειρο πλήθος δεκαδικών ψηφίων που δεν εμφανίζονται με περιοδικό τρόπο, δηλαδή είναι αδύνατον να γραφτεί σαν κλάσμα (με ακέραιους όρους) ή σαν δεκαδικός με πεπερασμένο πλήθος ψηφίων. Είναι βέβαιο πως δεν υπάρχει «τελευταίο» δεκαδικό ψηφίο για τον «π».
Αυτή είναι και η μαγεία της συγκεκριμένης σταθεράς. Είναι ένας αριθμός που αφορά στο πιο γνωστό γεωμετρικό σχήμα στον κόσμο, που μπορεί να συνδέει δύο απόλυτα φυσιολογικά χαρακτηριστικά του όπως το μήκος και η διάμετρος του, αλλά δεν μπορεί να υπολογιστεί με ακρίβεια. Πάντα αφήνει ένα ελάχιστο περιθώριο σφάλματος.
Φυσικά αυτό το σφάλμα μπορεί να θεωρηθεί αμελητέο, αφού πλέον έχουν γίνει «απειροστές» προσεγγίσεις που είναι υπεραρκετές για κάθε ζήτημα ή ιδιότητα που θέλει να μελετήσει κανείς.
Οι υπολογισμοί που συνεχίζουν να γίνονται για ακόμα μεγαλύτερες προσεγγίσεις, δεν έχουν στην ουσία καμία πρακτική σημασία. Ο λόγος που πραγματοποιούνται είναι καθαρά μαθηματικός. Γίνονται για να ελέγχονται οι προσεγγιστικές δυνατότητες διαφόρων αλγορίθμων ή υπολογιστικών μέσων.
Οι μαθηματικοί έχουν πλέον σταματήσει να ασχολούνται με την σταθερά που δεν πρόκειται ποτέ να υπολογίσουν. Οι προγραμματιστές συνεχίζουν την προσπάθεια που έχει ξεκινήσει εδώ και χιλιάδες χρόνια, μόνο και μόνο για χάρη της πληροφορικής και όχι των μαθηματικών, αφού είναι ένα από τα καλύτερα κριτήρια για την ισχύ ενός αλγορίθμου.
Τα πρώτα 100 δεκαδικά ψηφία του «π» είναι: π=3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ….
Ο συμβολισμός «π» προέρχεται από το αρχικό γράμμα της λέξης «περιφέρεια» που σημαίνει μήκος του κύκλου, και έχει καθιερωθεί διεθνώς, ενώ στο λατινικό αλφάβητο, όταν δεν είναι διαθέσιμοι τυπογραφικά ελληνικοί χαρακτήρες, συμβολίζεται ως Pi.
Προφανώς όταν χρησιμοποιούμε ακτίνια για την μέτρηση του κύκλου, το μήκος του θα είναι 2π ακτίνια, ενώ το μήκος του ημικυκλίου θα είναι π και του τεταρτημορίου . Ομοίως η πλήρης γωνία θα είναι 2π, η ευθεία γωνία π και η ορθή
ακτίνια. Μετά από την παρατήρηση αυτή είναι αυτονόητος ο λόγος που ο «π» χρησιμοποιείται, εκτός από τα Μαθηματικά, στη Φυσική, τη Μηχανολογία κ.τ.λ.
Μπορείτε να απομνημονεύσετε την φράση:
«Αεί, ο Θεός ο μέγας γεωμετρεί το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω παρήγαγεν αριθμόν απέραντον και όν φευ ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι.»
3 , 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6
μετρώντας τα γράμματα των λέξεων έχετε μια προσέγγιση του «π». (Η έμπνευση οφείλεται στον Νικόλαο Χατζηδάκη).
Έχει καθιερωθεί η 14 Μαρτίου (03/14) ως παγκόσμια ημέρα της σταθεράς «π».
Μερικές ρητές προσεγγίσεις του «π»:
(Τα κλάσματα είναι διατεταγμένα με σειρά αύξουσας προσέγγισης)
Άλλες προσεγγίσεις του «π»
(Gregory–Leibniz)
(1) Αποτέλεσμα της υπαρβατικότητας του π είναι ότι: Με δεδομένο το ευθύγραμμο τμήμα που έχει μήκος 1, είναι αδύνατο να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη ένα ευθύγραμμο τμήμα με μήκος ίσο με π. Εξ αιτίας της αδυναμίας αυτής, είναι αδύνατο επίσης να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη, τετράγωνο ισοδύναμο με δεδομένο κύκλο. (τετραγωνισμός του κύκλου).