Ο αριθμός x=0,9999… είναι δεκαδικός περιοδικός αριθμός με περίοδο 9, που σημαίνει ότι έχει άπειρο πλήθος δεκαδικών ψηφίων και το ψηφίο 9 είναι αυτό που επαναλαμβάνεται άπειρες φορές.
Ο ισχυρισμός ότι ο προηγούμενος αριθμός x είναι ίσος με 1 «καίει τον εγκέφαλο» όπως που είπε πριν χρόνια ένας μαθητής μου. Όμως είναι πέρα για πέρα σωστός. Η απόδειξη της ορθότητας της σχέσης 1=0,99999… γίνεται πολύ απλά (ουσιαστικά με απλή αριθμητική).
Ας θεωρήσουμε ότι x=0,99999999… Τότε θα είναι 10x=9,9999999….. Παρατηρήστε ότι ο x και ο 10x έχουν το ίδιο δεκαδικό μέρος, άπειρα εννιάρια. Έτσι λοιπόν αν αφαιρέσουμε κατά μέλη θα έχουμε 9x=9. Άρα x=1.
Με τον ίδιο τρόπο μπορείτε να δείξετε ότι 4,99999…=5 κ.τ.λ.