Από τις γεωμετρικές κατασκευές, υπάρχουν κάποιες που βασάνισαν επί αιώνες τους μαθηματικούς, χωρίς αποτέλεσμα. Αυτές είναι οι πιο κάτω:
(Για την ακρίβεια τα προβλήματα δεν είναι άλυτα αλλά έχει αποδειχτεί ότι είναι αδύνατα.)
- Ο τετραγωνισμός του κύκλου.
Δίνεται κύκλος. Να κατασκευαστεί (με κανόνα και διαβήτη) τετράγωνο που να έχει εμβαδό ίσο με το εμβαδό του κύκλου.
(Ο Αρχιμήδης (287-212 π.Χ.) χρησιμοποίησε την έλικα για να τετραγωνίσει τον κύκλο.)
- Το Δήλιο πρόβλημα.
Κατά τη διάρκεια ενός μεγάλου λοιμού στο Ιερό νησί της Δήλου, γύρω στο 430 π.Χ. οι Δήλιοι κατέφυγαν στο μαντείο των Δελφών προκειμένου να εξευμενίσουν τον θεό Απόλλωνα. Ο χρησμός του μαντείου, υποδείκνυε στους Δηλίους να κατασκευάσουν ένα κυβικό βωμό διπλάσιου μεγέθους από αυτόν που ήδη υπήρχε.
Άρα το γεωμετρικό πρόβλημα είναι: Να κατασκευαστεί (με κανόνα και διαβήτη) ένας κύβος με διπλάσιο όγκο από δοσμένο κύβο.
Μετά το χρησμό ο Πλάτων σχολίασε: οι θεοί θέλουν οι Έλληνες να ασχοληθούν περισσότερο με τη γεωμετρία και τα μαθηματικά.
(Ο Εύδοξος ο Κνίδιος (408-355π.Χ.) χρησιμοποίησε μία πολυωνυμική καμπύλη τετάρτου βαθμού για τον διπλασιασμό του κύβου.)
- Η τριχοτόμηση οξείας γωνίας.
Δίνεται οξεία γωνία ω. Να διαιρεθεί (με κανόνα και διαβήτη) σε τρεις ίσες γωνίες.
(Ο Ιππίας (4ος αιώνας π.Χ.) για την τριχοτόμηση γωνίας χρησιμοποίησε μία μη αλγεβρική καμπύλη.)
- Κατασκευή κανονικού ν-γώνου.
Αν δίνεται κύκλος (Ο,ρ) και φυσικός αριθμός ν, ζητείται να κατασκευαστεί κανονικό ν-γωνο εγγεγραμμένο στον κύκλο.
Ένα κανονικό ν-γωνο είναι κατασκευάσιμο με κανόνα και διαβήτη αν και μόνο αν όλοι οι περιττοί πρώτοι που διαιρούν το ν είναι πρώτοι του Fermat των οποίων τα τετράγωνα δεν διαιρούν το ν, δηλ. αν
Όπου κ είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος, p1, p2,… είναι διαφορετικοί πρώτοι της μορφής 
και r = 0 ή 1.
Τα τρία πρώτα προβλήματα φαίνεται πως ήταν ευρέως γνωστά στους αρχαίους Έλληνες. Αυτό γίνεται φανερό από τις αναφορές που υπάρχουν γι’ αυτά σε θεατρικά έργα της εποχής. Για παράδειγμα, ο Ευριπίδης αναφέρει το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου, ενώ ο Αριστοφάνης αναφέρει στους όρνιθες το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου.
Πρέπει να επισημανθεί το γεγονός ότι και τα τρία παραπάνω προβλήματα δεν είναι επιλύσιμα με τα μέσα που ορίζονται στα «Στοιχεία του Ευκλείδη», δηλαδή με κανόνα και διαβήτη. Θεωρούνται δε τα τρία πρώτα αδύνατα μαθηματικά προβλήματα της ανθρωπότητας και, γενικά, έχουν καταστεί συνώνυμα του «να επιδιώκει κανείς το ακατόρθωτο».
Η αδυναμία των παραπάνω προβλημάτων συνίσταται στους περιορισμούς που είχαν θέσει για την επίλυσή τους οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί.
Συγκεκριμένα, για να θεωρηθεί αποδεκτή (μη βλάσφημη) μια λύση θα πρέπει σε αυτήν:
- Να χρησιμοποιηθεί μόνο κανόνας και διαβήτης, και η κατασκευή να ανάγεται αποκλειστικά στα αξιώματα των «Στοιχείων του Ευκλείδη»
Με άλλα λόγια, ο κανόνας μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για να συνδεθούν δύο σημεία ή να επεκταθεί μια ευθεία γραμμή ενώ
Ο διαβήτης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για την κατασκευή ενός κύκλου του οποίου είναι γνωστό το κέντρο και ένα σημείο της περιφέρειάς του. - Η επίλυση να μην απαιτεί άπειρο αριθμό βημάτων.
Οι αρχαίοι Έλληνες προσπάθησαν χωρίς επιτυχία να επιλύσουν τα παραπάνω προβλήματα με κανόνα με διαβήτη. Όμως, έδωσαν κατά καιρούς μη αποδεκτές λύσεις. «Ανάξιες συζητήσεων, ως αντικείμενες προς τις αρχές της γεωμετρίας». (Αριστοτέλης)