Ο μαθηματικός George Boole (1815-1864) παρουσίασε το 1847 με τη βοήθεια των μαθηματικών εννοιών της εποχής του, μία αλγεβρική δομή, την γνωστή σήμερα σαν άλγεβρα Μπουλ, ή δυαδική άλγεβρα, η οποία εκφράζει την Αριστοτέλεια λογική, χρησιμοποιώντας μεταβλητές δύο τιμών 0 ή 1 (λογικές μεταβλητές). Ουσιαστικά η άλγεβρα αυτή είναι ο θεμέλιος λίθος για την σχεδίαση του λογισμικού και των κυκλωμάτων των ηλεκτρονικών υπολογιστών, επειδή είναι ιδανική για χειρισμό λογικών συναρτήσεων και λογικών πράξεων στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης.
Ο επόμενος ορισμός της άλγεβρας Boole στηρίζεται σε συγκεκριμένα αξιώματα που παρουσίασε το 1933 ο μαθηματικός Edward Vermilye Huntington, (1874-1952).
Αν οι τιμές αληθείας 0 και 1 ερμηνευθούν ως ακέραιοι αριθμοί τότε οι βασικές πράξεις της Άλγεβρας Boole εκφράζονται με τη βοήθεια των πράξεων της αριθμητικής ως εξής:
- Η πράξη ⊗ που αντιστοιχεί στη σύζευξη και ισχύει x⊗y=x·y
- Η πράξη ⊕ που αντιστοιχεί στη διάζευξη και ισχύει x⊕y=x+y-x·y.
- Η πράξη ¬ που αντιστοιχεί στην άρνηση και ισχύει ¬x=1-x.
Εναλλακτικά, οι τιμές των x∧y, x∨y και ¬x μπορούν να εκφράζονται με χρήση πίνακα αλήθειας:
Λόγω των επόμενων ταυτοτήτων μπορεί κανείς να πει ότι μόνο η άρνηση και μία από τις άλλες δύο πράξεις είναι βασικές:
- x⊗y = ¬(¬x⊕¬y). Άρα η ¬ και η ⊕ μπορούν να ορίσουν την ⊗.
- x⊕y = ¬(¬x⊗¬y). Άρα η ¬ και η ⊗ μπορούν να ορίσουν την ⊕.
Λογικές Πύλες
Οι πράξεις της άλγεβρας Boole υλοποιούνται με τη βοήθεια ηλεκτρονικών διατάξεων, που λέγονται λογικές πύλες (λογικοί διακόπτες) και χρησιμοποιούνται στα ηλεκτρονικά κυκλώματα. Οι λογικές πύλες αναγράφονται πιο κάτω με τις αντίστοιχες αναφορές στις λογικές πράξεις και τις πράξεις Boole:
Πύλη ΝΟΤ (¬)
Η πύλη ΝΟΤ εκτελεί την πράξη της αντιστροφής. Το λογικό της σύμβολο φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Έχει μόνο μία είσοδο και μία έξοδο. Η πύλη αντιστρέφει την τιμή της εισόδου (εάν η είσοδος είναι λογικό 1 η έξοδος γίνεται λογικό 0, εάν η είσοδος είναι λογικό 0 η έξοδος γίνεται λογικό 1).
Πύλη AND (⊗)
Η πύλη ΑND εκτελεί την λογική πράξη ⊗ (∧). Εχει δύο (ή περισσότερες) εισόδους και μία έξοδο. Η έξοδος δίνει την τιμή 1 αν οι τιμές όλων των εισόδων είναι 1. Σε κάθε άλλη περίπτωση η έξοδος δίνει 0.
Πύλη OR (⊕)
Η πύλη OR εκτελεί την λογική πράξη ⊕ (∨). Το σύμβολο της πύλης φαίνεται δίπλα. Έχει δύο (ή περισσότερες) εισόδους και μία έξοδο. Η έξοδος δίνει την λογική τιμή 0, αν όλες οι είσοδοι έχουν τιμή 0. Σε κάθε άλλη περίπτωση η έξοδος δίνει 1.
Πύλη ΧOR (∨)
Η πύλη ΧΟR εκτελεί την λογική πράξη (∨). Το σύμβολό της φαίνεται παρακάτω. Έχει δύο ή περισσότερες εισόδους και μία έξοδο. Η έξοδος δίνει λογική τιμή 1, μόνο στην περίπτωση που είναι 1, ακριβώς η μία από τι δύο εισόδους.
Πύλη NAND
Η πύλη NAND είναι συνδυασμός των πυλών AND και NOT
Πύλη NOR
Η πύλη NOR είναι συνδυασμός των πυλών OR και NOT.
Πύλη XNOR
Η πύλη XNOR είναι συνδυασμός της πύλης XOR και της πύλης ΝΟΤ.
Ο δε πίνακας με τις λογικές τιμές εισόδου και εξόδου των λογικών πυλών είναι:
