Ημιομάδα.
Το μη κενό σύνολο G λέγεται ημιομάδα αν και μόνο αν είναι εφοδιασμένο με μία εσωτερική πράξη (∗) η οποία είναι προσεταιριστική. Συμβολικά: (G,∗) : ημιομάδα ⇔ ισχύουν:- α,β∈G⇒α∗β∈G,∀α,β∈G .
- (α∗β)∗γ=α∗(β∗γ), ∀α,β,γ∈G .
Ομάδα.
Το μη κενό σύνολο G λέγεται ομάδα αν και μόνο αν είναι εφοδιασμένο με μία εσωτερική πράξη (∗) η οποία είναι προσεταιριστική, έχει ουδέτερο στοιχείο και κάθε στοιχείο του G έχει συμμετρικό ως προς την πράξη μέσα στο G. Συμβολικά: (G,∗) : ομάδα ⇔ ισχύουν:- α,β∈G⇒α∗β∈G,∀α,β∈G .
- (α∗β)∗γ=α∗(β∗γ), ∀α,β,γ∈G .
- ∃e∈G : α∗e=e∗α=α, ∀α∈G .
- α∈G⇒∃α’∈G : α∗α’=α’∗α=e, ∀α∈G .
Αβελιανή.
Το μη κενό σύνολο G λέγεται Αβελιανή ομάδα (ή αντιμεταθετική ομάδα) αν και μόνο αν είναι εφοδιασμένο με μία εσωτερική πράξη (∗) έτσι ώστε το G να είναι ομάδα και επί πλέον η πράξη είναι αντιμεταθετική. Συμβολικά: (G,∗) : ομάδα ⇔ ισχύουν:- α,β∈G⇒α∗β∈G,∀α,β∈G .
- (α∗β)∗γ=α∗(β∗γ), ∀α,β,γ∈G .
- ∃e∈G : α∗e=e∗α=α, ∀α∈G .
- α∈G⇒∃α’∈G : α∗α’=α’∗α=e, ∀α∈G .
- α∗β=β∗α, ∀α,β∈G .
Υποομάδα.
Αν το μη κενό σύνολο G με την πράξη (*) είναι ομάδα τότε το μη κενό υποσύνολό του G’⊂G θα λέγεται υποομάδα, αν και μόνο αν το (G’,∗) είναι ομάδα κλειστή ως προς την πράξη. Συμβολικά: (G,∗) : ομάδα ⇔ ισχύουν:- (G,∗) : Ομάδα
- ∅≠G’⊆G
- α,β∈G’⇒α∗β∈G’,∀α,β∈G .
- (G’,∗) : Ομάδα
Δακτύλιος.
Το μη κενό σύνολο Δ θα λέγεται δακτύλιος αν και μόνο αν είναι εφοδιασμένο με δύο εσωτερικές πράξεις, μία προσθετική (⊕) και μία πολλαπλασιαστική (⊗), τέτοιες ώστε να είναι (Δ,⊕) Αβελιανή ομάδα, το (Δ,⊗) είναι ημιομάδα και πι πλέον η πολλαπλασιαστική πράξη (⊗) έχει ουδέτερο (μοναδιαίο) στοιχείο και επιμερίζει την προσθετική πράξη δηλαδή ισχύει α⊗(β⊕γ)=(α⊗β)⊕(α⊗γ). Αν η πολλαπλασιαστική πράξη είναι αντιμεταθετική τότε και μότο τότε ο δακτύλιος λέγεται αντιμεταθετικός δακτύλιος. Συμβολικά: (Δ,⊕,⊗) : Δακτύλιος ⇔ ισχύουν:- α,β∈Δ⇒α⊕β∈Δ,∀α,β∈Δ.
- (α⊕β)⊕γ=α⊕(β⊕γ), ∀α,β,γ∈Δ.
- α⊕β=β⊕α, ∀α,β∈Δ.
- ∃ø∈Δ : α⊕ø=ø⊕α=α, ∀α∈Δ.
- α∈Δ⇒∃ā∈Δ : α⊕ā=ā⊕α=ø, ∀α∈Δ.
- α,β∈Δ⇒α⊗β∈Δ,∀α,β∈Δ.
- (α⊗β)⊗γ=α⊗(β⊗γ), ∀α,β,γ∈Δ.
- ∃ē∈Δ : α⊗ē=ē⊗α=α, ∀α∈Δ.
- α⊗(β⊕γ)=(α⊗β)⊕(α⊗γ), ∀α,β,γ∈Δ.
- α⊗β=β⊗α, ∀α,β∈Δ. – Αντιμεταθετικός δακτύλιος.
Σώμα.
Αν τριάδα (Σ,⊕,⊗) είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος και επιπλέον ισχύει ότι κάθε μη μηδενικό στοιχείο του Σ, έχει συμμετρικό ως προς την (⊗) δηλ. αντίστροφο τότε Το (Σ,⊕,⊗) λέγεται σώμα. Συμβολικά: (Σ,⊕,⊗) : Σώμα ⇔ ισχύουν:- (Σ,⊕,⊗) είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος.
- α∈Σ⇒∃α’∈Σ : α⊗α’=α’⊗α=ē, ∀α∈Σ : α≠ø.
Διανυσματικός Χώρος.
Ένα μη κενό σύνολο V θα λέγεται διανυσματικός χώρος αν και μόνο αν:- είναι εφοδιασμένο με μία προσθετική εσωτερική πράξη (+), ως προς την οποία το (V,+) είναι αντιμεταθετική ομάδα και
- είναι εφοδιασμένο με μιά εξωτερική πράξη (•) με συντελεστές στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R, η οποία έχει τις ιδιότητες:
- Για κάθε λ∈R και για κάθε x,y∈V ισχύει λ•(x+y)=λ•x+λ•y (επιμεριστική Ι)
- Για κάθε λ,μ∈R και για κάθε x∈V ισχύει (λ+μ)•x=λ•x+μ•x (επιμεριστική ΙΙ)
- Για κάθε λ,μ∈R και για κάθε x∈V ισχύει λ•(μ•x)=(λ·μ)•x. Παρατηρήστε τα διαφορετικά σύμβολα των πολλαπλασιασμών. Έχουν σημασία.
- Για 1∈R και για κάθε x∈V ισχύει 1•x=x.
Παραδείγματα
Για το αριθμητικό σύνολο των φυσικών αριθμών Ν={1,2,3,4,5,…} έχουμε:
- (N,+) : Είναι ημιομάδα. Δεν είναι ομάδα διότι δεν έχει μηδενικό (ουδέτερο) στοιχείο.
- (Ν,·) : Είναι ημιομάδα. Δεν είναι ομάδα διότι δεν υπάρχουν αντίστροφα (συμμετρικά) στοιχεία.
Για το αριθμητικό σύνολο των ακεραίων αριθμών Ζ={0,±1,±2,±3,±4,±5,…} έχουμε:
- (Ζ,+) : Είναι ημιομάδα. Είναι ομάδα. Είναι Αβελιανή.
- (Ζ,·) : Είναι ημιομάδα. Δεν είναι ομάδα (δεν υπάρχουν αντίστροφα στοιχεία).
- (Ζ,+,·) : Είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος.
Για το αριθμητικό σύνολο των μη μηδενικών ακεραίων αριθμών Ζ*={±1,±2,±3,±4,±5,…} έχουμε:
- (Ζ*,+) : Είναι ημιομάδα. Δεν είναι ομάδα (δεν υπάρχει ουδέτερο).
- (Ζ*,·) : Είναι ημιομάδα. Δεν είναι ομάδα (δεν υπάρχουν συμμετρικά στοιχεία).
Για το αριθμητικό σύνολο των ρητών αριθμών Q={μ/ν : μ∈Ζ και ν∈Ν} έχουμε:
- (Q,+) : Είναι ημιομάδα. Είναι ομάδα. Είναι Αβελιανή. (Ζ,+) είναι υποομάδα της.
- (Q,·) : Είναι ημιομάδα. Δεν είναι ομάδα (δεν υπάρχει αντίστροφο του 0).
- (Q,+,·) : Είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος. Είναι σώμα.
Για το αριθμητικό σύνολο των μη μηδενικών ρητών αριθμών Q*=Q¬{0} έχουμε:
- (Q*,+) : Είναι ημιομάδα. Δεν είναι ομάδα.
- (Q*,·) : Είναι ημιομάδα. Είναι ομάδα. Είναι Αβελιανή.
- (Q*,+,·) : Δεν είναι δακτύλιος (δεν υπάρχει μηδενικό).
Για το αριθμητικό σύνολο των πραγματικών αριθμών R έχουμε:
- (R,+) : Είναι ημιομάδα. Είναι ομάδα. Είναι Αβελιανή. (Ζ,+) : είναι υποομάδα της.
- (R,·) : Είναι ημιομάδα. Δεν είναι ομάδα (δεν υπάρχει αντίστροφο του 0).
- (R,+,·) : Είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος. Είναι σώμα.
Για το αριθμητικό σύνολο των μη μηδενικών πραγματικών αριθμών R*=R¬{0} έχουμε:
- (R*,+) : Είναι ημιομάδα. Δεν είναι ομάδα (δεν έχει μηδενικό).
- (R*,·) : Είναι ημιομάδα. Δεν είναι ομάδα (δεν υπάρχει 0).
- (R*,+,·) : Δεν είναι δακτύλιος.