Η έννοια της διμελούς πράξης.
Ας υποθέσουμε πως έχουμε τρία, μη κενά, σύνολα Α, Β και Γ, θα ονομάζουμε διμελή πράξη μεταξύ στοιχείων των Α και Β, με αποτέλεσμα στο Γ κάθε απεικόνιση της μορφής Α×Β→Γ. Με άλλα λόγια, η διμελής πράξη είναι ένας μηχανισμός που δρα μεταξύ των στοιχείων α του Α και β του Β και έχει σαν αποτέλεσμα το στοιχείο γ του Γ. Αν την πράξη αυτή την συμβολίσουμε με «∗», θα έχουμε συμβολικά: ∗ : Α×Β∋(α,β)→γ≡α∗β∈Γ
Αν σε μια διμελή πράξη όπως πιο πάνω είναι Α=Β=Γ τότε η πράξη λέγεται εσωτερική πράξη στο Α. δηλ. γ=α∗β με α,β,γ στοιχεία του Α. Το δε σύνολο Α λέγεται κλειστό ως προς την πράξη αυτή.
Παραδείγματα εσωτερικών πράξεων:
- Η πράξεις της πρόσθεσης (+) και του πολλαπλασιασμού (·) στο σύνολο Ν={1,2,3,4,5,…} των φυσικών αριθμών.
- Η πράξεις της πρόσθεσης (+), της αφαίρεσης (-) και του πολλαπλασιασμού (·) στο σύνολο Ζ={0,±1,±2,±3,±4,…} των ακεραίων αριθμών.
- Η πράξη της πρόσθεσης (+), της αφαίρεσης (-), του πολλαπλασιασμού (·) στο σύνολο Q των ρητών καθώς και στο R των πραγματικών αριθμών.
Αν σε μια διμελή πράξη όπως πιο πάνω είναι Β=Γ τότε η πράξη λέγεται εξωτερική πράξη στο Β. δηλ. γ=α∗β με α στοιχείο του Α και β,γ στοιχεία του Β. Το δε σύνολο Β λέγεται κλειστό ως προς την εξωτερική αυτή πράξη.
Παραδείγματα εξωτερικών πράξεων:
- Αν λ είναι πραγματικός αριθμός και α είναι ευθύγραμμο τμήμα (α∈Δ) τότε το λα είναι ευθύγραμμο τμήμα. Συμβολικά R×Δ∋(λ,α)→λα≡β∈Δ
- Το ίδιο ο πολλαπλασιασμός διανύσματος με αριθμό.
Παραδείγματα μη κλειστών συνόλων ως προς πράξη:
- Αν α,β∈Δ δηλαδή είναι ευθύγραμμα τμήματα τότε το γινόμενό τους δεν δίνει ευθύγραμμο τμήμα, αλλά εμβαδό ορθογωνίου με πλευρές τα α, β. Άρα το Δ δεν είναι κλειστό ως προς την πράξη αυτή
- Το σύνολο των διανυσμάτων ως προς το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων.
Ιδιότητες των εσωτερικών πράξεων
Ας υποθέσουμε πως έχουμε μια εσωτερική πράξη ∗ : Ε×Ε→Ε, όπου το Ε δεν είναι κενό. Η πράξη ∗ θα λέγεται:
- Προσεταιριστική αν και μόνο αν ισχύει (α∗β)∗γ=α∗(β∗γ) για οποιαδήποτε α,β,γ στοιχεία του Ε.
- Αντιμεταθετική αν και μόνο αν ισχύει η σχέση α∗β=β∗α για οποιαδήποτε α,β στοιχεία του Ε.
Επί πλέον θα έχουμε πως
- Αν υπάρχει στοιχείο e του Ε τέτοιο ώστε να ισχύει e∗α=α∗e=α για όλα τα στοιχεία α του Ε, τότε και μόνο τότε το e λέγεται ουδέτερο στοιχείο της πράξης στο Ε.
- Αν η πράξη έχει ουδέτερο στοιχείο e και για κάθε α στοιχείο του Ε πλην του e, υπάρχει ένα α’ στοιχείο επίσης του Ε, τέτοιο ώστε να ισχύει α∗α’=α’∗α=e τότε το α’ λέγεται συμμετρικό στοιχείο του α ως προς την πράξη «∗».
- Αν υπάρχει στοιχείο ◊ του Ε τέτοιο ώστε να ισχύει ◊∗α=α∗◊=◊ για όλα τα α του Ε τότε το ◊ λέγεται απορροφητικό στοιχείο της πράξης στο Ε.
Παραδείγματα
- Η πράξη της πρόσθεσης (+) στο σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι προσεταιριστική: (5+3)+4=8+4=12=5+7=5+(3+4).
- Το ίδιο η πράξη του πολλαπλασιασμού (·) στο σύνολο Ν: (5·3)·4=15·4=60=5·12=5·(3·4)
- Η πράξη της πρόσθεσης στο σύνολο των ακεραίων Ζ είναι αντιμεταθετική: 7+(-2)=(-2)+7=5
- Το ίδιο και η πράξη του πολλαπλασιασμού στο Ζ είναι αντιμεταθετική: 7·(-2)=(-2)·7=-14
- Είναι εύκολο να παρατηρήσουμε ότι η πρόσθεση στο R έχει ουδέτερο στοιχείο το 0, που λέγεται μηδενικό στοιχείο.
- Επίσης εύκολο είναι να διαπιστώσουμε ότι πολλαπλασιασμός στο R έχει ουδέτερο στοιχείο το 1, που λέγεται μοναδιαίο στοιχείο.
- Για κάθε ακέραιο αριθμό α, υπάρχει συμμετρικό στοιχείο ως προς την πρόσθεση, το -α που λέγεται αντίθετος του α.
- Για κάθε μη μηδενικό πραγματικό αριθμό α υπάρχει ο συμμετρικός του, α’ ως προς τον πολλαπλασιασμό που είναι ο 1/α και λέγεται αντίστροφος του α.
- Το μηδέν είναι απορροφητικό στοιχείο του πολλαπλασιασμού.