Η Ιστορία των αριθμών – Λογική και Μαθηματικά

Η εξελικτική πορεία των αριθμών είναι συνυφασμένη με την εξέλιξη των επιστημών και γενικότερα με την περιπέτεια της ανθρώπινης ύπαρξης. Άλλωστε οι αριθμοί δεν είναι τίποτα περισσότερο από ένα εργαλείο για την επίλυση των προβλημάτων που ανακύπτουν από τις ανάγκες κάθε εποχής.

Άλμα πρώτο: Οι Φυσικοί Αριθμοί

Η έννοια του αριθμού είναι πιθανότατα η «αρχαιότερη» μαθηματική έννοια. Γεννήθηκε από την ανάγκη του ανθρώπου να μετρήσει αντικείμενα, μέλη, χρόνο, αποστάσεις κ.τ.λ. Πιστεύεται ότι ο άνθρωπος μετρούσε, πολλές χιλιάδες χρόνια πριν εμφανιστεί το πρώτο (και πρωτόγονο με βάση το 60) σύστημα αρίθμησης, γύρω στο 3500 π.Χ. στη Μεσοποταμία. Ο Homo sapiens πριν 300.000 χρόνια έκανε μια μικρή αρίθμηση χρησιμοποιώντας κλαδιά. Εικάζεται ότι πριν 100.000 χρόνια ο πρωτόγονος άνθρωπος χρησιμοποίησε κάποιες αριθμητικές λέξεις. Οι κυνηγοί – τροφοσυλλέκτες (πριν 70.000 – 20.000 χρόνια) συνειδητοποίησαν ότι μεταξύ των μελών της αγέλης και της τροφής που εξασφάλισε το κυνήγι, υπήρχε κάποια αόρατη σχέση. Άρχισαν να καταλαβαίνουν την απλή πρόσθεση, τον πολλαπλασιασμό και την αφαίρεση. Το μοίρασμα της τροφής τους σημαίνει ότι κατανοούσαν και τη διαίρεση. Η παλαιότερη ένδειξη αριθμητικής καταγραφής βρέθηκε στη Σουαζιλάνδη της Νότιας Αφρικής και είναι μια περόνη μπαμπουίνου με 29 εμφανείς εγκοπές που χρονολογείται από το 35.000 π.Χ. Μοιάζει με τα «ημερολογιακά ραβδιά» που ακόμα χρησιμοποιούν στη Ναμίμπια για να καταγράφουν την παρέλευση του χρόνου. Άλλα κόκαλα, της νεολιθικής περιόδου, έχουν βρεθεί στη Δυτική Ευρώπη. Μια κερκίδα λύκου που βρέθηκε στην Τσεχία και χρονολογείται από το 30.000 π.Χ. φέρει 55 εγκοπές σε δύο σειρές ανά πέντε, οι οποίες μάλλον αποτελούν καταγραφή θηραμάτων. Ένα από τα πιο ενδιαφέροντα ευρήματα είναι το αποκαλούμενο κόκαλο Ισάνγκο, που βρέθηκε στις όχθες της λίμνης Έντουαρντς, ανάμεσα στην Ουγκάντα και το Κονγκό. Έχει χρονολογηθεί το 20.000 π.Χ. και μοιάζει να είναι κάτι παραπάνω από πίνακας θηραμάτων.

Η ανάγκη λοιπόν για μέτρηση και υπολογισμούς, οδήγησε στην αντιστοίχιση των αντικειμένων με γραμμές που χαράζονταν στο έδαφος ή σε κλαδιά ή σε κόκκαλα ή με τα δάχτυλά. Εικάζεται ότι το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης οφείλεται στο γεγονός ότι ο άνθρωπος έχει δέκα δάκτυλα στα χέρια του.

Οι Σουμέριοι ζύγιζαν, υπολόγιζαν τη γη σε «σαρ», μετρούσαν τα υγρά σε «κα», χρησιμοποιούσαν κλάσματα και είχαν σύστημα αριθμών με βάση το 60. (2.000-550 π.Χ.)
Οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν τις τέσσερις πράξεις και τις ρίζες, λύνανε προβλήματα πρώτου και δεύτερου βαθμού, υπολόγιζαν εμβαδόν ορθογωνίων τριγώνων, παραλληλόγραμμων, τραπεζίων καθώς και το εμβαδόν του κύκλου ( π=3 αντί π=3,14). Το αριθμητικό τους σύστημα είχε ως βάση το 60. Υποστηρίζεται ότι γνωρίζανε και το δεκαδικό σύστημα. Το εξηνταδικό σύστημα των Βαβυλωνίων έχει επιβιώσει μέχρι σήμερα στη μέτρηση του χρόνου και των γωνιών.
Το Αιγυπτιακό σύστημα αρίθμησης, εμφανίζεται γύρω στο 3450 π.Χ. είναι πιο καλά δομημένο από το προηγούμενο και έχει δεκαδική μορφή.
Ο Κινέζικος πολιτισμός χρησιμοποιεί σύστημα αριθμών με βάση το 60. Κάνανε αστρονομικούς υπολογισμούς 1500 χρόνια πριν από τους αρχαίους Έλληνες. Γνώριζαν γραμμικές εξισώσεις, αόριστες εξισώσεις, αρνητικούς αριθμούς και το π.. Τα μαθηματικά τους ήταν ανώτερα των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων. (500-200 π.Χ.)

Οι αρχαίοι Έλληνες παρέλαβαν το Αιγυπτιακό σύστημα και το εξέλιξαν, αναπτύσσοντας την αφηρημένη έννοια του αριθμού. Ο Ευκλείδης αναφέρει στα «Στοιχεία» του: «Μονάς ἐστιν, καθ’ ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται.» προσδιορίζοντας έτσι την έννοια της μονάδας και με το «Ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος.» προσδιορίζει την έννοια του αριθμού γενικά.

Έτσι γεννήθηκε το σύνολο

$\dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \mathbb{N}^{*}=\left \{ 1,2,3,4,5,6,\cdots \right \}}$ $των φυσικών αριθμών. Έτσι απέκτησε ορισμό και ο όρος μέτρηση. Μέτρηση ενός πληθυσμού είναι η αντιστοίχιση των ατόμων του, ένα προς ένα, με τα στοιχεία του N$ *.

$\dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \mathbb{N}^{*}}$ εξυπηρετούσε απόλυτα τις ανάγκες της εποχής, κάποια στιγμή όμως έγινε αναγκαία η χρήση ενός ακόμα αριθμού, του αριθμού 0, ο οποίος επινοήθηκε για να εκφράζει το πλήθος των στοιχείων του κενού συνόλου. Το 0, αν και δεν είναι στην ουσία φυσικός αριθμός, $συμπεριελήφθη$ $\dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \mathbb{N}}$ , έτσι ώστε $\dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \mathbb{N}=\left \{ 0,1,2,3,4,5,6,\cdots \right \}}$ .

Το Ν προφανώς έχει άπειρα στοιχεία, όμως είναι μετρήσιμο ή αριθμήσιμο, δηλαδή μπορεί κάποιος να αρχίσει να μετράει τα στοιχεία του, αλλά είναι προφανές ότι αυτό το μέτρημα δεν θα τελειώσει βέβαια ποτέ!

Αξιώματα Dedekind – Peano.

Είναι ένα σύνολο μαθηματικών προτάσεων που αφορούν στους φυσικούς αριθμούς. Παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά τον 19ο αιώνα από τον Ιταλό μαθηματικό Giuseppe Peano. Τα αξιώματα αυτά καθορίζουν τις αριθμητικές ιδιότητες των φυσικών αριθμών και είναι:

Το 0 είναι φυσικός αριθμός. (Η αρχική διατύπωση ήταν, Ο 1 είναι φυσικός αριθμός).
Για κάθε φυσικό αριθμό x, x = x. Δηλαδή η ισότητα είναι ανακλαστική.
Για κάθε φυσικό αριθμό x και y, αν x = y, τότε y = x. Δηλαδή η ισότητα είναι συμμετρική.
Για κάθε φυσικό αριθμό x, y και z, αν x = y και y = z, τότε x = z. Δηλαδή η ισότητα είναι μεταβατική.
Για κάθε α και β, αν α φυσικός αριθμός και α = β, τότε ο β είναι επίσης φυσικός αριθμός. Δηλαδή το Ν είναι κλειστό ως προς την ισότητα.
Για κάθε φυσικό αριθμό n, ο S(n) είναι φυσικός. Όπου με S(n) είναι ο «επόμενος» του n. Το σύνολο των φυσικών είναι κλειστό ως προς την διαδικασία «επόμενος».
Για κάθε φυσικό αριθμό n, S(n) ≠ 0 . Επειδή δεν υπάρχει φυσικός αριθμός που ο επόμενός του να είναι το μηδέν 0.
Για κάθε φυσικό αριθμό m and n, αν S(m) = S(n), τότε m = n. Αυτό γιατί η συνάρτηση S είναι «1-1» (αμφιμονοσήμαντη).
Αν K είναι ένα σύνολο τέτοιο ώστε:
- 0 ανήκει στο K,
- για κάθε αριθμό n, αν n ανήκει στο K, τότε S(n) (ο επόμενος του n) ανήκει στο K,
τότε το K περιέχει κάθε φυσικό αριθμό.
ή αλλοιώς

Αν φ(χ) είναι μια λογική πρόταση τέτοια ώστε :
φ(0) είναι αληθής, και
για κάθε φυσικό αριθμό n, αν φ(n) είναι αληθής, τότε φ(S(n)) είναι αληθές,
τότε φ(n) είναι αληθές για κάθε n.

Τα αξιώματα 1 έως 5 ορίζουν το σύνολο

$ℕ$

. Τα αξιώματα 6 έως 8 ορίζουν την έννοια του επόμενου. Το αξίωμα 9 είναι το αξίωμα της τέλειας επαγωγής που ισχύει στους φυσικούς αριθμούς.

Ένα παράδοξο…

Ας θεωρήσουμε:

Ν1={1,3,5,7,9,11,…} το σύνολο των περιττών φυσικών αριθμών και
Ν2={2,4,6,8,10,12,…} το σύνολο των άρτιων φυσικών.

Μπορούμε να παρατηρήσουμε τα εξής:

Τα Ν1 και Ν2 δεν είναι κενά.
Τα Ν1 και Ν2 δεν έχουν κοινά στοιχεία.
Αν ενώσουμε τα Ν1 και Ν2 θα έχουμε $\dpi{200} \fn_cm {\color{DarkRed} N1\cup N2=\mathbb{N}^{*}}$

Άρα ο πληθάριθμος του Ν1 θα είναι γνήσια μικρότερος από τον πληθάριθμο του $\dpi{200} \fn_cm {\color{DarkRed} \mathbb{N}^{*}}$ . Όμως και το Ν1 και το $\dpi{200} \fn_cm {\color{DarkRed} \mathbb{N}^{*}}$ είναι αριθμήσιμα απειροσύνολα, επομένως θα έχουμε (∞)<(∞) (;;;;!!!!). Το ίδιο θα ισχύει και το Ν2.

Ακόμα θα πρέπει το άθροισμα των πληθάριθμων των Ν1 και Ν2 να δίνει τον πληθάριθμο του $\dpi{200} \fn_cm {\color{DarkRed} \mathbb{N}^{*}}$ . Όμως τα Ν1 και Ν2 είναι αριθμήσιμα απειροσύνολα, όπως και το $\dpi{200} \fn_cm {\color{DarkRed} \mathbb{N}^{*}}$ , επομένως θα έχουμε (∞)+(∞)=(∞) (;;;!!!).

Τα παράδοξα αυτά μπορούν να ερμηνευτούν, όπως και όλα τα παράδοξα που έχουν σχέση με το άπειρο, πράγμα που θα γίνει όταν ασχοληθούμε με την οντότητα αυτή.

Ένα πρόβλημα…

Όπως είναι φυσικό, δεν άργησε να εμφανιστεί η πρώτη δυσκολία. Το σύνολο $\dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \mathbb{N}}$ είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό, δεν είναι όμως κλειστό για την πράξη της αφαίρεσης και της διαίρεσης. Οι σκεπτόμενοι της εποχής βρέθηκαν αντιμέτωποι με το πρόβλημα που εκφράζει, για παράδειγμα, η εξίσωση 9+x=5. Πώς είναι δυνατόν να προσθέσουμε έναν αριθμό σε ένα φυσικό και να προκύψει μικρότερος φυσικός; Η αδυναμία να βρεθεί λύση στο πρόβλημα αυτό, απετέλεσε το έναυσμα για το επόμενο άλμα στην ανακάλυψη των αριθμών.

Άλμα δεύτερο: Οι Αρνητικοί Αριθμοί.

Όσο οι μαθηματικοί περιορίζονταν στον υπολογισμό του πλήθους των φυσικών αντικειμένων, η έννοια του αρνητικού αριθμού δεν είχε σημασία. Φάνταζε λογικό εκείνη την εποχή, οι αριθμοί να αρχίζουν από το 1 (ή το 0) και να συνεχίζουν μέχρι να εκφράσουν ποσοτικά τα αντικείμενα που καταμετρούνταν.
Πολύ γρήγορα ανέκυψε το πρόβλημα που εκφράζει, με μαθηματικό τρόπο, η πιο πάνω εξίσωση. Δηλαδή το πρόβλημα να προσθέτουμε έναν αριθμό στο 9 και να προκύπτει 5, που είναι μικρότερος του 9. Η πρώτη αναφορά σε αρνητικούς αριθμούς βρίσκεται μέσα σε εννέα βιβλία γραμμένα από Κινέζους συγγραφείς, περίπου το 100 π.Χ. Ωστόσο, η έννοια ήταν ακόμα εντελώς αφηρημένη, ενώ αρκετοί επιστήμονες της εποχής δεν μπορούσαν να την αντιληφθούν.

Ο Διόφαντος ήταν ο πρώτος μαθηματικός που εισήγαγε την έννοια των αρνητικών αριθμών στον δυτικό κόσμο τον 3ο αιώνα μ.Χ. Προσπαθώντας να βρει λύση για την εξίσωση 4x+20=0 κατέληξε πως τα αποτελέσματα είναι εντελώς παράλογα. Τρεις αιώνες αργότερα, αρκετοί Ινδοί μαθηματικοί ασχολήθηκαν με την ύπαρξη των αρνητικών αριθμών, στην προσπάθεια τους να υπολογίσουν τα χρέη κάποιων συμπολιτών τους. Ωστόσο, η ανυπόστατη έννοια ενός αριθμού που δεν υπάρχει, άργησε να γίνει αποδεκτή από τον κόσμο των μαθηματικών. Μέχρι και τον 17ο αιώνα η πλειοψηφία των μαθηματικών δεν αναγνώριζε την ύπαρξη τους. Οι αριθμοί αυτοί χαρακτηρίζονταν ως «παράλογοι» έως ότου αναγνωριστούν από μια σειρά διασήμων μαθηματικών. Ο Fibonacci π.χ. επέτρεψε τις αρνητικές λύσεις στα οικονομικά προβλήματα που θα μπορούσαν να ερμηνευθούν ως χρέη ή ως ζημίες.

Μετά λοιπόν από την «νομιμοποίηση» των αρνητικών αριθμών δημιουργήθηκε το σύνολο των ακεραίων $\dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \mathbb{Z}=\left \{ 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 5,\cdots \right \}}$ .

Το σύνολο $\dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \mathbb{Z}}$ είναι κλειστό ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασμού. Δεν είναι όμως κλειστό για την πράξη της διαίρεσης. Δηλαδή δεν είναι δυνατόν στο $\dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \mathbb{Z}}$ να λυθούν πάντα προβλήματα της μορφής αx=β, για παράδειγμα 3x=5.

Άλμα τρίτο: Οι Ρητοί Αριθμοί.

Όσο εξελισσόταν η διαμάχη για την ύπαρξη ή όχι των αρνητικών αριθμών, διατυπώθηκαν και άλλα αναπάντητα ερωτήματα από μαθηματικούς. Οι Ακέραιοι Αριθμοί όπως φάνηκε δεν ήταν ικανοί να καλύψουν τις λογιστικές ανάγκες της εποχής. Για παράδειγμα το πρόβλημα 2x=3 δεν είχε λύση στο σύνολο των φυσικών $\dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \mathbb{N}}$ , αλλά ούτε και στο σύνολο των ακεραίων $\dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \mathbb{Z}}$ . Υπάρχουν άραγε άλλοι αριθμοί ανάμεσα στο 1 και στο 2;

Η ανακάλυψη των κλασματικών (ρητών) αριθμών δεν άργησε να έρθει, Αναφορές στους κλασματικούς αριθμούς υπήρχαν από τον 2ο αιώνα π.Χ. σε έργα Αιγυπτίων μαθηματικών, μόνο που αριθμητής και παρονομαστής τους ήταν φυσικοί αριθμοί. Οι Ρητοί Αριθμοί είναι γνωστοί και ως κλάσματα, , αλλά όπως είναι λογικό η αναγνώριση τους άργησε να έρθει από την μαθηματική κοινότητα.

Κλασικοί Έλληνες και Ινδοί μαθηματικοί έκαναν μελέτες για τη θεωρία των ρητών αριθμών, ως μέρος της γενικής μελέτης της θεωρίας αριθμών. Η πιο γνωστή αναφορά είναι στα Στοιχεία του Ευκλείδη, που χρονολογείται περίπου στο 300 π.Χ. Από τα ινδικά κείμενα, η πιο σημαντική αναφορά γίνεται στο Sthananga Sutra, το οποίο καλύπτει επίσης τη θεωρία αριθμών ως μέρος μιας γενικής μελέτης των μαθηματικών.

Η έννοια των δεκαδικών κλασμάτων συνδέεται στενά με το συμβολισμό της δεκαδικής αξίας (όπως χρησιμοποιείται στους δεκαδικούς αριθμούς). Οι δύο μορφές φαίνεται να έχουν αναπτυχθεί σε συνδυασμό. Ομοίως, στα μαθηματικά κείμενα των Βαβυλωνίων γίνεται πάντα χρήση εξηνταδικών (βάση 60) κλασμάτων με μεγάλη συχνότητα.

Η τελική αποδοχή των ρητών αριθμών από την μαθηματική κοινότητα ήρθε αργότερα με το ορισμό του συνόλου $\dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \mathbb{Q}=\left \{ \rho =\frac{\alpha }{\pi } : \alpha \in \mathbb{Z} \: \wedge \: \pi \in \mathbb{N} \right \}}$ που περιέχει όλα τα κλάσματα με ακέραιο αριθμητή και φυσικό παρονομαστή.

Μέσα στο σύνολο αυτό μπορούσαν πλέον να λυθούν τα περισσότερα προβλήματα της εποχής. Ωστόσο υπήρχαν προβλήματα που εξακολουθούσαν να μην βρίσκουν λύση στο $\dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \mathbb{Q}}$ . Το πιο παλιό πρόβλημα ήταν το x²=2.

Άλμα τέταρτο: Οι Άρρητοι Αριθμοί.

Ο Ίππασος, ο ιδρυτής του μαθηματικού τμήματος της σχολής του Πυθαγόρα, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, ανακάλυψε ότι η τετραγωνική ρίζα του 2 ενώ υπάρχει σαν μέγεθος (αφού είναι το μέτρο της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές ίσες με 1) εν τούτοις δεν είναι ρητός αριθμός.

Η απόδειξη του Ίππασου αναφέρεται από τον Αριστοτέλη ως χαρακτηριστικό παράδειγμα χρήσης της «εις άτοπον απαγωγής»:

Υπέθεσε ότι το ανάγωγο (δεν απλοποιείται) κλάσμα α/β είναι ρητός αριθμός με την ιδιότητα (α/β)² =2 ⇔ a²/β² =2. Οι αριθμοί α και β είναι πρώτοι μεταξύ τους, γιατί πολύ απλά αν είχαν κοινό διαιρέτη τότε αυτός θα απλοποιούταν στο κλάσμα. Άρα καταλήγουμε στην σχέση a²=2β². Συνεπώς το α, επειδή έχει άρτιο τετράγωνο, είναι άρτιος αριθμός. Επομένως θα υπάρχει ένας φυσικός κ ώστε a = 2κ και από αυτό προκύπτει ότι 4κ² =2β². Άρα β² = 2κ². Άρα ο β είναι άρτιος, όπως και ο α. Άρα α και β είναι άρτιοι δηλαδή έχουν κοινό διαιρέτη το 2. Αυτό είναι άτοπο, αφού η υπόθεση λέει το αντίθετο. Άρα το ρίζα 2 δεν μπορεί να είναι ρητός!

Οι Πυθαγόρειοι διακήρυσσαν ότι όλο το σύμπαν άρα και όλοι οι αριθμοί εκφράζονται με κλασματική μορφή, δηλαδή δεν μπορούσαν να δεχτούν την ύπαρξή μη ρητών (άρρητων) αριθμών αλλά ταυτόχρονα δεν μπορούσαν να διαψεύσουν την ύπαρξή τους. Προτίμησαν να «κρύψουν» το πρόβλημα πνίγοντας τον Ίππασο στη θάλασσα. Το πρόβλημα λοιπόν παρέμεινε άλυτο και έπρεπε να περάσουν πάνω από δύο χιλιετίες ώστε οι άρρητοι αριθμοί να αναγνωριστούν, από μαθηματικούς, τον 19ο αιώνα.

Οι θεωρίες που διατύπωσαν μαθηματικοί όπως ο Weierstrass, ο Dedekind, ο Cantor μπορούσαν πλέον να αποδείξουν την ύπαρξη των άρρητων αριθμών οι οποίοι μάλιστα είναι πολύ περισσότεροι, σε πλήθος, από τους ρητούς αριθμούς. Οι άρρητοι αριθμοί αφού δεν μπορούν να συμβολιστούν με κλάσματα, είναι αδύνατον να εκφραστούν με μορφή δεκαδικού αριθμού. Κάθε τέτοια απόπειρα οδηγεί σε δεκαδικό αριθμό με άπειρο πλήθος δεκαδικών ψηφίων τα οποία μάλιστα δεν εμφανίζουν καμία περιοδικότητα. Άρα ένα άρρητο αριθμό μπορούμε απλά να τον προσεγγίσουμε με δεκαδικό αριθμό.

Εάν προσπαθήσουμε να προσδιορίσουμε την τετραγωνική ρίζα του 2 δηλαδή τον αριθμό x για τον οποίον ισχύει:
x² =2 θα έχουμε 1<x²<4. Άρα θα είναι 1<x<2.
Παίρνουμε όλους τους δεκαδικούς, με προσέγγιση δεκάτου από το 1 μέχρι το 2:
1 – 1,1 – 1,2 – 1,3 – 1,4 – 1,5 – 1,6 – 1,7 – 1,8 – 1,9 – 2 και τους υψώνουμε στο τετράγωνο
1 – 1,21 – 1,44 – 1,69 – 1,96 – 2,25 – 2,56 – 2,89 – 3,24 – 3,61 – 4
παρατηρούμε ότι 1,96<2<2,25 άρα 1,96<x²<2,25 άρα θα είναι 1,4<x<1,5

Στη συνέχεια παίρνουμε όλους τους δεκαδικούς με προσέγγιση εκατοστού από τι 1,4 μέχρι 1,5:
1,4 – 1,41 – 1,42 – 1,43 – 1,44 – 1,45 – 1,46 – 1,47 – 1,48 – 1,49 – 1,5 τους υψώνουμε στο τετράγωνο
1,96 – 1,9881 – 2,0164 – 2,0449 – 2,0736 – …
Παρατηρούμε ότι 1,9881<x²<2,0164 άρα θα είναι 1,41<x<1,42

Στη συνέχεια παίρνουμε όλους τους δεκαδικούς με προσέγγιση χιλιοστού από 1,41 μέχρι 1,42
1,41 – 1,411 – 1,412 – 1,413 – 1,414 – …- 1,419 – 1,42 υψώνουμε κ.τ.λ.
Η διαδικασία αυτή θα συνεχίζεται επ’ άπειρον και θα έχει σαν αποτέλεσμα:
1<1,4<1,41<1,414<1,4142<1,41421<1,414213<…<x<…<1,414214<1,41422<1,4143<1,415<1,42<1,5<2
και σε κάθε βήμα θα έχουμε μια πιο ικανοποιητική, από την προηγούμενη, προσέγγιση του αριθμού x (τετραγωνική ρίζα του 2).
Οι αριστερά του x προσεγγίσεις λέγονται προσεγγίσεις κατ’ έλλειψη, ενώ οι δεξιά του x λέγονται προσεγγίσεις καθ’ υπεροχήν του x.

Με αυτό το τρόπο δημιουργήθηκε το ολοκληρωμένο σύνολο των Πραγματικών Αριθμών $\dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \mathbb{R}}$ , στο οποίο ανήκουν όλοι οι ρητοί και όλοι οι άρρητοι αριθμοί . Δημιουργώντας το σύνολο αυτό των πραγματικών, οι μαθηματικοί πίστεψαν πως δημιούργησαν το απόλυτο εργαλείο για τις μελέτες τους. Ένα σύνολο αριθμών από το οποίο δεν έλειπε απολύτως τίποτα. Όμως για μία ακόμα φορά έκαναν λάθος. Στην κυριολεξία, δεν χρησιμοποίησαν αρκετά την… φαντασία τους. Αυτή τη φορά το πρόβλημα ήταν η λύση της εξίσωσης x²=-1.

Άλμα πέμπτο: Οι φανταστικοί αριθμοί.

Προκειμένου να ξεπεραστεί το πρόβλημα της προηγούμενης παραγράφου. ο Ιταλός μαθηματικός και γιατρός Gerolamo Cardano, επινόησε τον «αριθμό» i (διαβάζεται «γιώτ»), από τον οποίο απαιτούσε να ικανοποιεί τη σχέση i²=-1. Με τη βοήθεια του δημιούργησε το σύνολο των αριθμών της μορφής λ·i, όπου λ πραγματικός αριθμός. Τους αριθμούς αυτούς τους ονόμασε φανταστικούς. Πολύ πιθανό ο συμβολισμός i να προέρχεται από το πρώτο γράμμα της λέξης immaginario (φανταστικός). Ο Καρτέσιος αναφέρθηκε σχεδόν 100 χρόνια αργότερα (1637) στο βιβλίο του «Η Γεωμετρία» στους φανταστικούς αριθμούς, χρησιμοποιώντας τον όρο μάλλον υποτιμητικά.

Η μαθηματική κοινότητα θεώρησε τρελούς όσους ασχολούνταν με την ύπαρξη ενός φανταστικού συνόλου και απαξίωσε κάθε επιχείρημα τους. Στις αρχές όμως του 19ου αιώνα οι Φανταστικοί Αριθμοί ξαναήρθαν στο προσκήνιο, από τον Gauss. Οι μαθηματικοί τότε άρχισαν να ασχολούνται περισσότερο με την υπόθεση του Γκάους. Δηλαδή χρειάστηκε άλλος ένας αιώνας ώστε να αναγνωριστούν. Οι φανταστικοί αριθμοί συνδυάστηκαν με τους ήδη υπάρχοντες πραγματικούς αριθμούς για να δημιουργήσουν το σύνολο $\dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \mathbb{C}}$ των Μιγαδικών Αριθμών.

Κάθε μιγαδικός αριθμός έχει την μορφή z=a+b·i, είναι δηλαδή άθροισμα ενός πραγματικού αριθμού a και ενός φανταστικού b·i.
Το a λέγεται πραγματικό μέρος του z και συμβολίζεται a=Re(z). Το b λέγεται φανταστικό μέρος του z και συμβολίζεται b=Im(z).
Κατόπιν όλων αυτών είναι φανερό ότι κάθε πραγματικός αριθμός x μπορεί να γραφτεί x=x+0·i και επομένως να θεωρηθεί μιγάς. Άρα το σύνολο $\dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \mathbb{R}}$ των πραγματικών, είναι υποσύνολο του $\dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \mathbb{C}}$ των μιγαδικών.

Προσοχή!! ο συμβολισμός $\inline i=\sqrt{-1}$ δεν χρησιμοποιείται για να μην υπάρχει αντίφαση με τα ήδη γνωστά από τους Πραγματικούς.

Οι πράξεις στο $\dpi{200} \fn_cm \LARGE {\color{DarkBlue} \mathbb{C}}$

Ισχύουν

i⁰=1
i¹=i
i²=-1
i³=-i

Αν είναι z₁=a₁+b₁i και z₂=a₂+b₂i μιγαδικοί αριθμοί τότε:

z₁+z₂=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i
z₁·z₂=(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i

Μέσα στο σύνολο $\dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \mathbb{C}}$ δεν ορίζεται διάταξη, δηλαδή δεν είναι δυνατόν μεταξύ δύο μιγαδικών αριθμών να αποφανθούμε ποιος είναι ο μικρότερος.

Όμως αποδεικνύεται το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας: «Κάθε πολυώνυμο μιας μεταβλητής, μη μηδενικού βαθμού και με μιγαδικούς συντελεστές, έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο σύνολο $\dpi{200} \fn_cm {\color{DarkBlue} \mathbb{C}}$ των μιγαδικών αριθμών.»

Επίλογος

Τελικά σήμερα έχοντας καταλήξει στο σύνολο C, έχουμε δημιουργήσει την αλυσίδα: $\boldsymbol{\mathit{\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}}}$ και έχουμε τη «βεβαιότητα» πως το ταξίδι έχει φτάσει στο τέρμα του. Όμως είναι άραγε αλήθεια; ή ένας ακόμα ανθρώπινος κομπασμός; Άραγε κατά πόσο η ανθρώπινη ευφυΐα είναι ικανή να προχωρήσει και να οδηγήσει σε νέα, εξελιγμένα και πρωτοποριακά μαθηματικά που με τη σειρά τους θα εμπλουτίσουν τον συναρπαστικό κόσμο των αριθμών;Το μέλλον θα δείξει. Ας έχουμε τα μυαλά μας ανοικτά!!