Βασικές έννοιες:
Θεμελιωτής της θεωρίας των συνόλων είναι ο Georg Cantor ο οποίος το 1874 δημοσίευσε την εργασία του «Σχετικά με μια ιδιότητα της πεμπτουσίας όλων των πραγματικών αλγεβρικών αριθμών» την οποίαν ακολούθησαν άλλες τέσσερις δημοσιεύσεις με τελευταία αυτήν με τίτλο «Θεμέλια μιας γενικής θεωρίας των συνόλων» το 1883.
Η έννοια του συνόλου είναι μια από τις πρωταρχικές έννοιες των μαθηματικών, όπως είναι η ευθεία, το σημείο και άλλα. Το γεγονός αυτό έχει σαν αποτέλεσμα την αδυναμία μας να δώσουμε κάποιον ορισμό για την έννοια αυτή.
Θα προσπαθήσουμε εδώ να δώσουμε μια, όσο γίνεται αυστηρότερη περιγραφή για την έννοια «σύνολο» με την ελπίδα ότι θα την κάνουμε όσο γίνεται πιο κατανοητή.
Δεχόμαστε ότι έχουμε το δικαίωμα ένα ή περισσότερα αντικείμενα σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα(*) μεταξύ τους (που θα τα συμβολίζουμε με τα πεζά γράμματα α,β,γ,δ,…και θα τα λέμε στοιχεία) να τα θεωρούμε σαν ένα αντικείμενο που θα το λέμε σύνολο (με στοιχεία τα α,β,γ,δ,….. και θα το συμβολίζουμε με ένα από τα κεφαλαία γράμματα Α,Β,Γ,Δ, κ.λ.π.).
Παραδείγματα συνόλων:
- Το σύνολο των ημερών της εβδομάδας.
- Το σύνολο των εποχών του έτους.
- Το σύνολο των μαθητών μιας τάξης.
Ένα σύνολο μπορούμε να το συμβολίσουμε με τρεις διαφορετικούς τρόπους:
- Με αναγραφή των στοιχείων του. Γράφουμε ένα – ένα όλα τα στοιχεία ανάμεσα σε δύο αγκύλες. π.χ. Α={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
- Με περιγραφή των στοιχείων του. Γράφουμε μεταξύ των αγκύλων μια αυστηρή περιγραφή των στοιχείων, αν είναι εφικτό. π.χ. Α={x/x: θετικός μονοψήφιος ακέραιος αριθμός}
- Με διάγραμμα του Venn. Το διάγραμμα είναι μιά κλειστή καμπύλη γραμμή, στο εσωτερικό της οποίας συμβολίζουμε τα στοιχεία με σημεία.
Εάν το αντικείμενο α είναι ένα από τα στοιχεία του συνόλου Σ τότε θα λέμε ότι «Το (στοιχείο) α ανήκει στο (σύνολο) Σ» και θα το συμβολίζουμε α∈Σ, ενώ ο συμβολισμός α∉Σ σημαίνει ότι το α δεν είναι στοιχείο του Σ.
(*) Είναι αυτονόητο ότι για να οριστεί ένα σύνολο πρέπει να είναι γνωστή η σχέση της βασικής ισότητας για τα στοιχεία του συνόλου αυτού, ώστε αυτά να είναι πράγματι διακεκριμένα. Δηλαδή πρέπει να έχουμε το κριτήριο με βάση το οποίο να μπορούμε να αποφασίσουμε αν δυο στοιχεία είναι ίσα (ταυτίζονται) ώστε να μην τα συμπεριλάβουμε δυο φορές στο ίδιο σύνολο.
Ένα «περίεργο» πρόβλημα.
Στο σημείο αυτό είναι καλό να μας απασχολήσει το εξής πρόβλημα: «Είναι δυνατόν να θεωρήσουμε το σύνολο όλων των συνόλων;» Με άλλα λόγια: «Ορίζεται καλώς το σύνολο Α={Σ/Σ:σύνολο};»
Μη βιαστείτε να απαντήσετε. Σκεφθείτε πολύ.
Σκεφθείτε, είναι δυνατόν ένα σύνολο να περιέχει σαν στοιχείο τον εαυτό του; Η απάντηση είναι «όχι». Άρα δεν είναι δυνατόν το Σ να είναι ίσο με το Α, επομένως Α∉Α.
Ύστερα από, για λόγους πρακτικούς ορίζουμε το σύνολο Ω το οποίο περιέχει σαν στοιχεία όλα τα σύνολα που υπάρχουν πλην του εαυτού του. Το σύνολο αυτό λέγεται βασικό σύνολο.
Χρήσιμοι ορισμοί
- Απειροσύνολο λέγεται κάθε σύνολο που έχει άπειρα (ως προς το πλήθος) στοιχεία.
- Κάθε σύνολο που δεν είναι απειροσύνολο λέγεται πεπερασμένο.
- Το πλήθος των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου Σ λέγεται πληθικός αριθμός ή πληθάριθμος του συνόλου Σ και συμβολίζεται με Ν(Σ).
- Μονοστοιχειακό σύνολο ή μονοσύνολο λέγεται κάθε σύνολο που έχει μόνο ένα στοιχείο. Φυσικά το μονοστοιχειακό σύνολο έχει πληθάριθμο 1.
- Δεχόμαστε ότι υπάρχει σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο. Το σύνολο αυτό το ονομάζουμε κενό σύνολο και το συμβολίζουμε με { } ή Ø. Ο πληθικός αριθμός του κενού συνόλου θεωρούμε ότι είναι το μηδέν (0).
- Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ισοδύναμα (και αυτό συμβολίζεται με A≈B) εάν και μόνο εάν ο πληθάριθμος του Α είναι ίσος με τον πληθάριθμο του Β δηλαδή Ν(Α)=Ν(Β).
Παρατήρηση: Μπορείτε εύκολα να διαπιστώσετε ότι η πιο πάνω σχέση ικανοποιεί τις ιδιότητες.
– Α≈Α, για κάθε Α∈Ω. (Αυτοπαθής ή ανακλαστική ιδιότητα).
– Α≈Β ⇔ Β≈Α (Συμμετρική ιδιότητα).
– Α≈Β και Β≈Γ τότε Α≈Γ (Μεταβατική ιδιότητα). - Κάθε σχέση που ικανοποιεί τις τρεις αυτές ιδιότητες λέγεται σχέση ισοδυναμίας.
Η ισότητα των συνόλων.
Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα αν και μόνο αν περιέχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία, δηλαδή κάθε στοιχείο του Α ανήκει και στο Β και κάθε στοιχείο του Β ανήκει και στο Α.
Συμβολικά έχουμε: Α=Β ⇔ [ (x∈Α⇒x∈Β) και (x∈Β⇒x∈Α) ].
Παραδείγματα:
- Τα σύνολα Α={1,2,3} και Β={3,2,1} είναι ίσα.
- Τα σύνολα Α={x/x:μονοψήφιος φυσικός αριθμός} και Β={0,…,9} είναι ίσα.
- Ομοίως τα Α={Τρίτη, Τετάρτη, Πέμπτη, Παρασκευή} και Β={x/x:ημέρα της εβδομάδας που αρχίζει από Τ ή Π}.
Είναι βεβαίως προφανείς οι πιο κάτω ιδιότητες της ισότητας των συνόλων:
- Α=Α , για κάθε Α∈Ω. (Αυτοπαθής ή Ανακλαστική)
- Α=Β ⇔ Β=Α . (Συμμετρική)
- Α=Β και Β=Γ τότε Α=Γ . (Μεταβατική)
Οι σχέσεις εγκλεισμού των συνόλων.
Το σύνολο Α λέγεται υποσύνολο του συνόλου Β (και συμβολίζουμε με Α⊆Β) αν και μόνο αν κάθε στοιχείο του Α ανήκει και στο σύνολο Β. Στην περίπτωση αυτή το Β λέγεται υπερσύνολο του συνόλου Α (που συμβολίζεται Β⊇Α).
Ο προηγούμενος ορισμός συμβολικά γράφεται: Α⊆Β ⇔ [ x∈Α ⇒ x∈Β ].
Το σύνολο Α λέγεται γνήσιο υποσύνολο του συνόλου Β (Α⊂Β) αν και μόνο αν κάθε στοιχείο του Α ανήκει και στο σύνολο Β και επί πλέον υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του Β που δεν ανήκει στο Α.
Συμβολικά γράφουμε: Α⊂Β ⇔ [ A⊆B και ∃x∈Β: x∉Α ].
Άμεσες συνέπειες του ορισμού είναι οι σχέσεις: Ø⊆Α και Α⊆Α για κάθε σύνολο Α. (Γιατί;). Επί πλέον είναι Α=Β ⇔ [ Α⊆Β και Β⊆Α ] .
Έστω ένα σύνολο Α. Θα λέγεται δυναμοσύνολο του Α το σύνολο όλων των υποσυνόλων του Α και θα συμβολίζεται D(A). Για παράδειγμα, αν είναι Α={1,2,3} τότε D(A)={Ø,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},A}
Είναι εύκολο να παρατηρήσετε και να αποδείξετε ότι η σχέση εγκλεισμού «⊆» των συνόλων στο βασικό σύνολο Ω ικανοποιεί τις πιο κάτω ιδιότητες :
- Α⊆Α , για κάθε Α∈Ω. (Αυτοπαθής ή Ανακλαστική)
- Α⊆Β και Β⊆Α ⇒ Α=Β. (Αντισυμμετρική)
- Α⊆Β και Β⊆Γ ⇒ Α⊆Γ. (Μεταβατική)
Δεχόμαστε ότι υπάρχει το υπερσύνολο όλων των συνόλων, δηλαδή το σύνολο του οποίου είναι υποσύνολα όλα τα σύνολα που υπάρχουν. Το σύνολο αυτό θα το ονομάσουμε σύνολο αναφοράς και θα το συμβολίσουμε με το U . Το δε διάγραμμα του Venn για το U συνήθως είναι ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.
Παρατηρήστε ότι οι έννοιες των συνόλων U και Ω είναι διαφορετικές. Εάν υποθέσουμε ότι Α είναι ένα τυχαίο σύνολο τότε θα είναι Α⊆U και A∈Ω.
Πράξεις μεταξύ των συνόλων.
Συμπλήρωμα ή συμπληρωματικό σύνολο του συνόλου Α θα λέγεται το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία του συνόλου αναφοράς U που δεν ανήκουν στο Α και θα συμβολίζεται με Α΄ ή Αc . Συμβολικά θα έχουμε: Αc={x/x∈U και x∉A}
Τομή δύο συνόλων Α και Β θα λέγεται το σύνολο που περιέχει τα κοινά στοιχεία των Α και Β και μόνον αυτά. Η τομή των Α , Β θα συμβολίζεται με Α∩Β. Συμβολικά Α∩Β={x/x∈A ∧ x∈B}
Παράδειγμα: Αν Α={1,2,3,4,5,6} και Β={4,5,6,7,8,9} τότε θα είναι Α∩Β={4,5,6}
Ισχύουν δε οι επόμενες ιδιότητες
- Α∩∅=∅, ∀Α⊆U.
- A∩A=A, ∀Α⊆U.
- A∩U=A, ∀Α⊆U.
- (A∩B)∩Γ=Α∩(Β∩Γ), για κάθε Α,Β,Γ σύνολα.
- Α∩Β=Β∩Α, για κάθε Α,Β σύνολα.
Αν για δυο σύνολα Α και Β ισχύει Α∩Β=∅ τότε ονομάζονται ξένα ή ασυμβίβαστα ή αμοιβαία αποκλειόμενα σύνολα.
Ένωση δύο συνόλων Α και Β θα λέγεται το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία που ανήκουν στο Α ή στο Β. Η ένωση των Α , Β θα συμβολίζεται με Α∪Β. Συμβολικά Α∪Β={x/x∈A ∨ x∈B}
Παράδειγμα: Αν Α={1,2,3,4,5,6} και Β={4,5,6,7,8,9} τότε θα είναι Α∪Β={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Ισχύουν δε οι επόμενες ιδιότητες
- Α∪∅=Α, ∀Α⊆U.
- A∪A=A, ∀Α⊆U.
- A∪U=U, ∀Α⊆U.
- (A∪B)∪Γ=Α∪(Β∪Γ), για κάθε Α,Β,Γ σύνολα.
- Α∪Β=Β∪Α, για κάθε Α,Β σύνολα.
Συνολοθεωρητική Διαφορά ή απλά διαφορά του συνόλου Β από το σύνολο Α θα λέγεται το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία του Α που δεν ανήκουν στο Β και μόνον αυτά και θα συμβολίζεται με Α ¬ Β. Συμβολικά Α¬Β={x/x∈A ∧ x∉B}
Παράδειγμα: Αν Α={1,2,3,4,5,6} και Β={4,5,6,7,8,9} τότε θα είναι Α¬Β={1,2,3} και Β¬Α={7,8,9}.
Συμμετροδιαφορά ή κοντρασύν δύο συνόλων Α και Β θα λέγεται το σύνολο που περιέχει όλα τα μη κοινά στοιχεία των δύο συνόλων και μόνον αυτά και θα συμβολίζεται με Α⊕Β . Συμβολικά Α⊕Β={x/x∈A¬Β ∧ x∈B¬Α}
Καρτεσιανό Γινόμενο.
Μια από τις πιο σημαντικές έννοιες της θεωρίας των συνόλων είναι η έννοια του καρτεσιανού γινομένου.
Για να ορίσουμε το καρτεσιανό γινόμενο είναι απαραίτητη η έννοια του διατεταγμένου ζεύγους (α,β). Το ζεύγος λοιπόν (α,β) λέγεται διατεταγμένο αν και μόνο αν τα στοιχεία α και β έχουν ορισμένη διάταξη μέσα στο ζεύγος, είναι δηλαδή αυστηρά ορισμένο ποιο είναι το πρώτο και ποιο είναι το δεύτερο στοιχείο του ζεύγους. Επομένως θα πρέπει να θεωρούμε ότι γενικά θα είναι (α,β)≠(β,α).
Καρτεσιανό γινόμενο δύο συνόλων Α και Β λέγεται το σύνολο που αποτελείται από όλα τα διατεταγμένα ζεύγη που σχηματίζονται με πρώτο στοιχείο από το Α και δεύτερο στοιχείο από το Β. Συμβολικά Α×Β={(x,y)/x∈A ∧ y∈B}. Προφανώς θα είναι Α×Β≠Β×Α.
Παράδειγμα: Ας υποθέσουμε ότι Α={1,2,3} και Β={α,β}. Τότε θα είναι Α×Β={(1,α),(1,β),(2,α),(2,β),(3,α),(3,β)} και Β×Α={(α,1),(β,1),(α,2),(β,2),(α,3),(β,3)}
Παρατηρήσεις: Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι Α×Β≠Β×Α και ακόμα ότι Ν(Α×Β)=Ν(Β×Α)=Ν(Α)·Ν(Β).