Ένα στερεό πολύεδρο σχήμα, λέγεται κανονικό όταν όλες οι έδρες του είναι κανονικά πολύγωνα, ίσα μεταξύ τους.
Ένα κανονικό πολύεδρο, λέγεται κυρτό όταν κάθε επίπεδο έδρας, αφήνει ολόκληρο το πολύεδρο στον ένα από τους δύο ημιχώρους που ορίζει ή άλλως (ισοδύναμα) κάθε ευθύγραμμο τμήμα με άκρα κορυφές του πολυέδρου (διαγώνιος) βρίσκεται ολόκληρο στην επιφάνεια ή στο εσωτερικό του πολυέδρου.
Πλατωνικό στερεό, λέγεται κάθε κυρτό, κανονικό πολύεδρο που όλες οι πολυεδρικές γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.
Από τον ορισμό αυτό, προκύπτουν άμεσα, για κάθε πλατωνικό στερεό, οι προτάσεις:
- Όλες οι ακμές είναι ίσα, μεταξύ τους, ευθύγραμμα τμήματα.
- Όλες οι επίπεδες γωνίες είναι, μεταξύ τους, ίσες.
Τα κανονικά πολύεδρα απασχόλησαν από την αρχαιότητα τοις λαούς και ιδιαίτερα τους Έλληνες. Η πρώτη αναφορά κανονικών πολυέδρων, του κύβου, του τετραέδρου και του δωδεκαέδρου, αποδίδεται στους Πυθαγορείους (6ος αι. π.Χ.), αν και ήταν γνωστά και σε προγενέστερους πολιτισμούς. Το οκτάεδρο και το εικοσάεδρο αποδίδονται στον Θεαίτητο (415-369 π.Χ.). Ο Θεαίτητος ήταν Έλληνας μαθηματικός της κλασικής αρχαιότητας. Ήταν συνεργάτης του Πλάτωνα και επιφανές μέλος της Ακαδημίας του Πλάτωνα. Πιστεύεται από την ολότητα των ιστορικών των μαθηματικών ότι το δέκατο τρίτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη βασίζεται στις μελέτες του Θεαίτητου. Η μελέτη των Πλατωνικών στερεών καθώς και η απόδειξη ότι υπάρχουν ακριβώς πέντε τέτοια, περιλαμβάνεται στο 13ο βιβλίο των Στοιχείων.
Παρ’ όλα αυτά, ο πρώτος που κάνει σαφή αναφορά στα κανονικά πολύεδρα ήταν ο Πλάτωνας (427-347 π.Χ.), γι αυτό και ονομάστηκαν Πλατωνικά στερεά. Στην Πλατωνική φιλοσοφία, τα στερεά αυτά συμβόλιζαν τα δομικά στοιχεία του σύμπαντος. (βλ. επόμενο πίνακα)
Ένα κανονικό πολύεδρο αναγνωρίζεται από ένα συμβολισμό της μορφής [λ, μ], όπου λ είναι ο αριθμός των πλευρών (κορυφών) της κάθε έδρας και μ ο αριθμός των εδρών που ενώνονται σε κάθε κορυφή. (Schläfli)
(Τα σχήματα του πίνακα προέρχονται από commons.wikimedia.org)
Τα Πλατωνικά Στερεά
Σύμφωνα με τον Πλάτωνα,
- (1) Το τετράεδρο, με τον ελάχιστο αριθμό εδρών, συμβολίζει τη Φωτιά. Αυτό εξηγείται διότι το τετράεδρο είναι «ευκίνητο», κοφτερό, αιχμηρό και ελαφρύ όπως η φωτιά.
- (2) Ο κύβος συμβολίζει τη Γη, γιατί στέκεται σταθερά στη βάση του. Έτσι, εκφράζει τη σταθερότητα, και την ανθεκτικότητα, που χαρακτηρίζουν τη γήινη ύλη.
- (3) Το οκτάεδρο αντιστοιχεί στον Αέρα, διότι περιστρέφεται ελεύθερα γύρω από νοητό άξονα που διέρχεται από δύο απέναντι κορυφές του, χαρακτηριστικό που του επιτρέπει να είναι «μαλακό» και «λεπτεπίλεπτο».
- (4) Ο Πλάτωνας επινόησε την ύπαρξη του Αιθέρα, θεωρώντας πως αυτός είναι (πέμπτο στοιχείο) συνδυασμός των υπολοίπων στοιχείων και κυριαρχεί έξω από τη γη. Το δωδεκάεδρο συμβολίζει το σύμπαν και αντιστοιχίζεται με το ζωδιακό κύκλο, το δωδεκάθεο. και την Πεμπτουσία του Κόσμου.
- (5) Το εικοσάεδρο συμβολίζει το Νερό, εξαιτίας του μεγάλου αριθμού των εδρών του μεγαλύτερου όγκο του. Επίσης, αποτελεί το πιο στρογγυλό από τα σχήματα, δηλαδή αυτό που «ρέει» πιο εύκολα.
Δυισμός
Αν σε ένα από τα Πλατωνικά στερεά θεωρήσουμε τα κέντρα των εδρών του σαν κορυφές ενός άλλου πολυέδρου, τότε το δεύτερο τούτο πολύεδρο είναι επίσης ένα Πλατωνικό στερεό. Τα δύο αυτά πολύεδρα ονομάζονται δυϊκά πολύεδρα (ή συζυγή πολύεδρα).
Επομένως, το πλήθος των εδρών του πρώτου ισούται με το πλήθος των κορυφών του δεύτερου και το αντίστροφο. Το πλήθος των ακμών τους παραμένει ίδιο. Επί πλέον, τα δυϊκά γεωμετρικά σχήματα μπορούν να θεωρηθούν «αλληλοπαραγόμενα». Ειδικότερα:
- Ο κύβος {4,3} είναι δυϊκό σχήμα του κανονικού οκταέδρου {3,4}, δηλαδή μετασχηματίζεται με λογικό τρόπο σε οκτάεδρο και αντίστροφα.
- Το δυικό του κανονικού δωδεκαέδρου {5,3} είναι το κανονικό εικοσάεδρο {3,5}, και αντίστροφα.
- Το δυϊκό σχήμα του κανονικού τετραέδρου {3,3} είναι ο εαυτός του. Δηλαδή είναι «αυτοπαραγόμενο» στερεό.
Κάθε συμμετρία που αφήνει αναλλοίωτο ένα σχήμα, θα αφήνει αναλλοίωτο και το δυικό του.
Σημειώσεις σε .pdf
⇒ Τα Πλατωνικά Στερεά που υπάρχουν είναι ακριβώς πέντε! (Απόδειξη)
⇒ Τετράεδρο.
⇒ Κύβος (εξάεδρο).
⇒ Οκτάεδρο.
⇒ Δωδεκάεδρο.
⇒ Εικοσάεδρο.
⇒ Όλα.