Μενού Κλείσιμο

Γεωμετρικές Κατασκευές.

Η Γεωμετρία ήταν ο πρώτος και επί αρκετούς αιώνες ο μόνος, κλάδος της ανθρώπινης διανόησης που διαμορφώθηκε σαν επιστήμη. Γρήγορα η Γεωμετρία βρέθηκε συνδεδεμένη με τη φιλοσοφία και τις προσπάθειες της να διερευνήσει το «θείον». Αποτέλεσμα ήταν η ευθεία και ο κύκλος να αποκτήσουν ιδιαίτερη σημασία, εκφράζοντας η μεν ευθεία τη ζωή, ο δε κύκλος το «θείον». Έτσι φθάσαμε στο σημείο, για αιώνες μετά την ανακάλυψη της απόδειξης, να θεωρείται ανεπίτρεπτη η κατασκευή οποιουδήποτε προβλήματος με τη χρήση άλλων γραμμών ή οργάνων εκτός από το χάρακα και το διαβήτη.

Το μεγαλύτερο μέρος του έργου «Στοιχεία» που έγραψε ο Ευκλείδης είναι η Γεωμετρία που όλος ο κόσμος σήμερα γνωρίζει με τον τίτλο «Ευκλείδειος Γεωμετρία». Στο έργο αυτό συναντάμε τις πρώτες γεωμετρικές κατασκευές που είναι προβλήματα στα οποία ζητείται η κατασκευή κάποιου γεωμετρικού αντικειμένου που να έχει ορισμένη ιδιότητα.

Η βασικές αρχές που υιοθέτησε ο Ευκλείδης, δεν είναι άλλες από αυτές του Αριστοτέλη:

  1. Κάθε νέα έννοια πρέπει να ορίζεται. Επιπλέον η ύπαρξή της πρέπει να αποδεικνύεται κατασκευαστικά.
  2. Κάθε νέα απόφανση πρέπει να αποδεικνύεται κατασκευαστικά.

Η απαίτηση, ο γεωμέτρης υποχρεωτικά, να κάνει χρήση μόνο του (μη βαθμολογημένου) κανόνα  και του διαβήτη, δεν αναφέρεται ρητά στα «Στοιχεία» όμως κατά κάποιο τρόπο αφήνεται να εννοηθεί. Φυσικά είναι αυτονόητο ότι η κατασκευή, για να είναι δυνατή, θα πρέπει να έχει πεπερασμένο πλήθος βημάτων.

Ο Πάππος (3ος αι. μ.Χ.) ταξινομεί τα γεωμετρικά προβλήματα σε κατηγορίες ανάλογα με τα μέσα που απαιτούνται για την επίλυσή τους. Στη «Συναγωγή» του αναφέρει ότι τα γεωμετρικά προβλήματα (κατασκευές) ταξινομούνται σε τρεις κατηγορίες:

  • Επίπεδα (επιλύονται με ευθείες & κύκλους).
  • Στερεά (επιλύονται με κωνικές τομές)
  • Γραμμικά (επιλύονται με άλλες πιο πολύπλοκες καμπύλες)

Αναφέρει μάλιστα ότι αν ένα πρόβλημα μπορεί να επιλυθεί με ευθείες και κύκλους, τότε είναι απαράδεκτο να επιλυθεί με πιο σύνθετες καμπύλες (μέσα).

Ο Πρόκλος (5ος αι. μ.Χ) στα σχόλιά του στο 1ο βιβλίο των Στοιχείων εξηγεί ότι η ευθεία γραμμή και ο κύκλος είναι τα πρωταρχικά θεμέλια των σχημάτων.

Οι κατασκευές στην Ευκλείδεια Γεωμετρία

Σήμερα με τον όρο Γεωμετρική κατασκευή εννοούμε την κατασκευή ενός γεωμετρικού σχήματος με τη βοήθεια κανόνα (μη βαθμονομημένου) και διαβήτη που να στηρίζεται (αποδεικνύεται) με βάση τα θεωρήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Δυο από τα αξιώματα της Ευκλείδειας επίπεδης Γεωμετρίας είναι:

  1. Δοσμένων δυο διαφορετικών σημείων, υπάρχει μια μοναδική ευθεία που διέρχεται από αυτά τα δυο σημεία και στην οποία ευθεία τα σημεία αυτά ανήκουν. (Χαράσσεται με την βοήθεια του κανόνα)
  2. Δοσμένων, ενός σημείου και ενός ευθυγράμμου τμήματος, μπορεί να κατασκευαστεί ένας κύκλος, με κέντρο το δοσμένο σημείο και ακτίνα το δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα. (Χαράσσεται με τη βοήθεια του διαβήτη).

Οι πιο σημαντικές κατασκευές που υπάρχουν στα Στοιχεία, είναι:

Στο πρώτο βιβλίο:

  1. Η κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου.
  2. Η μεταφορά ευθυγράμμου τμήματος.
  3. Η αφαίρεση ευθυγράμμων τμημάτων.
  4. Η κατασκευή διχοτόμου γωνίας.
  5. Η τριχοτόμηση ευθυγράμμου τμήματος.
  6. Η κατασκευή καθέτου σε ευθεία από σημείο της.
  7. Η κατασκευή καθέτου σε ευθεία από σημείο εκτός αυτής.
  8. Η κατασκευή γωνίας ίση με δοθείσα που η μία πλευρά της δίνεται.
  9. Η κατασκευή παραλλήλου προς ευθεία από σημείο εκτός αυτής.
  10. Η κατασκευή παραλληλογράμμου με δοθείσα γωνία ισοδύναμου με τρίγωνο.
  11. Η κατασκευή παραλληλογράμμου με δοθείσα γωνία & πλευρά ισοδύναμου με τρίγωνο.
  12. Η κατασκευή τετραγώνου.

Στο δεύτερο βιβλίο:

Η κατασκευή της χρυσής τομής (διαίρεση ενός τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο).

Στο τέταρτο βιβλίο:

Οι κατασκευές των κανονικών πολυγώνων, τριγώνου, τετραγώνου, πενταγώνου, εξαγώνου, δεκαγώνου και δεκαπενταγώνου καθώς και των κανονικών πολυγώνων με διπλάσιο πλήθος πλευρών.

Στο δέκατο τρίτο βιβλίο:

Οι κατασκευές των πέντε κανονικών πολυέδρων (πλατωνικών στερεών) των τετραέδρου, οκταέδρου, εξαέδρου, εικοσαέδρου και δωδεκαέδρου.

Τα άλυτα προβλήματα

(Για να είμαστε ειλικρινείς τα προβλήματα δεν είναι άλυτα αλλά έχει αποδειχτεί ότι είναι αδύνατα.)

Από τις γεωμετρικές κατασκευές, υπάρχουν κάποιες που βασάνισαν επί αιώνες τους μαθηματικούς, χωρίς αποτέλεσμα. Αυτές είναι οι πιο κάτω:

  1. Ο τετραγωνισμός του κύκλου.

Δίνεται κύκλος. Να κατασκευαστεί (με κανόνα και διαβήτη) τετράγωνο που να έχει εμβαδό ίσο με το εμβαδό του κύκλου.

(Ο Αρχιμήδης (287-212 π.Χ.) χρησιμοποίησε την έλικα για να τετραγωνίσει τον κύκλο.)

 

 

  1. Το Δήλιο πρόβλημα.

Κατά τη διάρκεια ενός μεγάλου λοιμού στο Ιερό νησί της Δήλου, γύρω στο 430 π.Χ. οι Δήλιοι κατέφυγαν στο μαντείο των Δελφών προκειμένου να εξευμενίσουν τον θεό Απόλλωνα. Ο χρησμός του μαντείου, υποδείκνυε στους Δηλίους να κατασκευάσουν ένα κυβικό βωμό διπλάσιου μεγέθους από αυτόν που ήδη υπήρχε.

Άρα το γεωμετρικό πρόβλημα είναι: Να κατασκευαστεί (με κανόνα και διαβήτη) ένας κύβος με διπλάσιο όγκο από δοσμένο κύβο.

Μετά το χρησμό ο Πλάτων σχολίασε: οι θεοί θέλουν οι Έλληνες να ασχοληθούν περισσότερο με τη γεωμετρία και τα μαθηματικά.

(Ο Εύδοξος ο Κνίδιος (408-355π.Χ.) χρησιμοποίησε μία πολυωνυμική καμπύλη τετάρτου βαθμού για τον διπλασιασμό του κύβου.)

  1. Η τριχοτόμηση οξείας γωνίας.

Δίνεται οξεία γωνία ω. Να διαιρεθεί (με κανόνα και διαβήτη) σε τρεις ίσες γωνίες.

(Ο Ιππίας (4ος αιώνας π.Χ.) για την τριχοτόμηση γωνίας χρησιμοποίησε μία μη αλγεβρική καμπύλη.)

  1. Κατασκευή κανονικού ν-γώνου.

Αν δίνεται κύκλος (Ο,ρ) και φυσικός αριθμός ν, ζητείται να κατασκευαστεί κανονικό ν-γωνο εγγεγραμμένο στον κύκλο.

Ένα κανονικό ν-γωνο είναι κατασκευάσιμο με κανόνα και διαβήτη αν και μόνο αν όλοι οι περιττοί πρώτοι που διαιρούν το ν είναι πρώτοι του Fermat των οποίων τα τετράγωνα δεν διαιρούν το ν, δηλ. αν  


Όπου κ είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος,
p1, p2,… είναι διαφορετικοί πρώτοι της μορφής   και r = 0 ή 1.

 

 

 

error: Το περιεχόμενο προστατεύεται!