Κατά τη διάρκεια ενός μεγάλου λοιμού στο Ιερό νησί της Δήλου, γύρω στο 430 π.Χ. οι Δήλιοι κατέφυγαν στο μαντείο, προκειμένου να εξευμενίσουν τον θεό Απόλλωνα. Ο χρησμός του μαντείου, υποδείκνυε στους Δηλίους να κατασκευάσουν ένα κυβικό βωμό διπλάσιου μεγέθους (όγκου) από αυτόν που ήδη υπήρχε.
Έτσι το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου πέρασε στην ιστορία με το όνομα «Δήλιο πρόβλημα».
Μετά το χρησμό ο Πλάτων σχολίασε: Οι θεοί θέλουν οι Έλληνες να ασχοληθούν περισσότερο με τη γεωμετρία και τα Μαθηματικά.
Οι Έλληνες στην προσπάθειά τους να λύσουν αυτό το πρόβλημα κατέφυγαν σε άλλες καμπύλες και σε άλλα όργανα εκτός από τον κανόνα και τον διαβήτη. Με τον τρόπο αυτό βρήκαν διάφορες λύσεις του προβλήματος. Ο Ευτόκιος (6ος αιώνας μ.Χ.) σχολιάζοντας το έργο του Αρχιμήδη και τη λύση που αυτός έδωσε στο πρόβλημα, κατέγραψε 12 διαφορετικές λύσεις του προβλήματος με αρχαιότερη αυτή του Αρχύτα που είχε ηλικία 10 αιώνων:
Με το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου ασχολήθηκαν οι:
- Ιπποκράτης ο Χίος (470-400 π.Χ.)
- Αρχύτας ο Ταραντίνος (430-365 π.Χ.)
- Πλάτων (427-347 π.Χ.)
- Εύδοξος ο Κνίδιος (408-355 π.Χ.) χρησιμοποίησε μία πολυωνυμική καμπύλη τετάρτου βαθμού.
- Μέναιχμος (375 π.Χ.)
- Αρχιμήδης (287-212 π.Χ.)
- Ερατοσθένης (276-194 π.Χ.)
- Απολλώνιος (265-170 π.Χ.)
- Νικομήδης (200 π.Χ.)
- Ήρωνας ο Αλεξανδρινός (1ος – 2ος αιώνας μ.Χ.)
- Διοκλής (1ος αιών μ.Χ.)
- Πάππος Αλεξανδρινός (3ος αιώνας μ.Χ.)
Όμως την εποχή που διατυπώθηκε το πρόβλημα αυτό, κάθε κατασκευή που κατέφευγε σε άλλα γεωμετρικά όργανα πλην του κανόνα και του διαβήτη, εθεωρείτο ασέβεια!
Οι Πυθαγόρειοι είχαν διαπιστώσει ότι μπορούμε να κατασκευάσουμε, με τον κανόνα και τον διαβήτη, ένα τετράγωνο με εμβαδό διπλάσιο ενός άλλου δεδομένου τετραγώνου πλευράς α. Πράγματι η πλευρά του τετραγώνου αυτού θα είναι η διαγώνιος του πρώτου γιατί όπως μπορείτε να παρατηρήσετε στο σχήμα, το μισό του αρχικού τετραγώνου είναι το ένα τέταρτο του νέου τετραγώνου.
Το Δήλιο πρόβλημα στην ουσία είναι η γενίκευση στο τρισδιάστατο χώρο του προβλήματος αυτού.
Από τότε που τέθηκε το παραπάνω πρόβλημα, πέρασαν περισσότερα από δύο χιλιάδες χρόνια, ώσπου οι μαθηματικοί να καταφέρουν να αποδείξουν ότι είναι αδύνατη η ζητούμενη κατασκευή με κανόνα και διαβήτη. Συγκεκριμένα, το 1837 ο Γάλλος μαθηματικός Pierre Laurent Wantzel , χρησιμοποιώντας τη θεωρία του επίσης Γάλλου μαθηματικού Galois έλυσε το πρόβλημα αποδεικνύοντας την αδυναμία του. Από τότε λοιπόν το συγκεκριμένο πρόβλημα έπαψε να είναι άλυτο, δόθηκε απάντηση: το πρόβλημα είναι αδύνατο.
Στο σημείο αυτό θέλω να κάνω μια αναφορά σε κείνους τους φίλους (μη μαθηματικούς βέβαια) που διατείνονται πως έχουν διπλασιάσει τον κύκλο, με κανόνα και διαβήτη. Το πρόβλημά τους είναι ότι δεν έχουν καταλάβει τι ακριβώς σημαίνει: γεωμετρική λύση με κανόνα και διαβήτη.
- Ο κανόνας είναι το όργανο που η αποκλειστική χρήση του είναι να χαράζουμε ευθύγραμμα τμήματα με άκρα δύο σημεία.
- Ο διαβήτης είναι το όργανο με το οποίο χαράσσουμε κύκλους.
- Στη γεωμετρική λύση χρησιμοποιούμε αποκλειστικά και μόνο τα δύο προηγούμενα όργανα, τα αξιώματα και θεωρήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και κάθε εργασία ολοκληρώνεται με πεπερασμένο πλήθος βημάτων
Πιο κάτω σας δίνω μια λύση του Δηλίου προβλήματος που δεν ικανοποιεί τις προηγούμενες προϋποθέσεις, είναι “βλάσφημη” (δεν είναι αποδεκτή) όμως είναι ένας απλοϊκός τρόπος πρακτικής κατασκευής του διπλάσιου κύβου. Σκοπός μου είναι να αποτρέψω εκείνους που πελαγοδρομούν σε δαιδαλώδεις δήθεν αποδείξεις!
Έστω λοιπόν ότι δίνεται ένας κύβος με ακμή α (δίνεται). Ζητείται να κατασκευαστεί το ευθύγραμμο τμήμα x τέτοιο ώστε ο κύβος που έχει ακμή το x να έχει όγκο 2/πλάσιο του αρχικού.
Θα ισχύουν:
Αρκεί δηλαδή να κατασκευάσω το τμήμα x.
- Γράφω το τμήμα ΒΓ=α.
- Με κέντρο το Β και ακτίνα α γράφω τον κύκλο C1
- Με κέντρο το Γ και ακτίνα α γράφω τον κύκλο C2.
- Στην τομή των δύο κύκλων ορίζω το σημείο Α.
- Φέρνω την ημιευθεία η1 (ΑΒ) και πάνω σαυτήν παίρνω σημείο Δ, ώστε ΒΔ=α.
- Φέρνω την ημιευθεία η2 (ΔΓ)
- Φέρνω την ημιαεθεία η3 (ΒΓ)
- Και τώρα η «ασεβής» ενέργεια : Πάνω στον κανόνα σημαδεύω τμήμα α και προσπαθώ να τον τοποθετήσω με τρόπο ώστε να διέρχεται από το Α και το τμήμα α να έχει τα άκρα του πάνω στις η2 και η3.
- Το ΑΜ=x είναι το ζητούμενο.
Η λύση αυτή αποδίδεται στον Ισαάκ Νεύτωνα.