Μενού Κλείσιμο

Ο Τετραγωνισμός του Κύκλου.

Το πρόβλημα.

Δίνεται κύκλος. Να κατασκευαστεί (με κανόνα και διαβήτη) τετράγωνο που να έχει εμβαδό ίσο με το εμβαδό του κύκλου.

Ο Τετραγωνισμός του κύκλου είναι ένα από τα αρχαιότερα και διασημότερα γεωμετρικά προβλήματα. Ένα μεγάλο πλήθος μαθηματικών, από την αρχαιότητα μέχρι τα τέλη του 19ου αιώνα, αφιέρωσαν μεγάλο μέρος της δραστηριότητάς τους στην προσπάθεια να τετραγωνίσουν τον κύκλο.

Αυτό είχε σαν αποτέλεσμα, η έκφραση «τετραγωνίζω τον κύκλο» να καταστεί στις συνειδήσεις των ανθρώπων (μαθηματικών ή όχι) σαν συνώνυμη του «προσπαθώ το ακατόρθωτο» ή «επιδιώκω το καταδικασμένο σε αποτυχία».

Το 1882, ο μαθηματικός Ferdinand von Lindemann απέδειξε το αδύνατο της επίλυσης του προβλήματος.

Η αδυναμία να λυθεί το πρόβλημα βρίσκεται στους περιορισμούς που έθεσαν οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί. Πιο συγκεκριμένα, για να θεωρηθεί αποδεκτή μία γεωμετρική λύση του προβλήματος, θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί μόνο κανόνας και διαβήτης, η απόδειξη να στηρίζεται στις προτάσεις (αξιώματα και θεωρήματα) του Ευκλείδη και να πραγματοποιείται μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων.

Η επίλυση του προβλήματος συνδέεται άμεσα με τον αριθμό π. Αν κάποιος πετύχαινε να τετραγωνίσει τον κύκλο, σίγουρα θα είχε καταφέρει να υπολογίσει, με κάποιο τρόπο, μία συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή για το π.

Ο von Lindemann λοιπόν απέδειξε ότι ο αριθμός π είναι υπερβατικός αριθμός, άρα δεν έχει συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή. (Υπερβατικός λέγεται κάθε αριθμός που δεν είναι αλγεβρικός. Αλγεβρικός λέγεται κάθε αριθμός που είναι ρίζα κάποιας μη-μηδενικής πολυωνυμικής εξίσωσης με ρητούς συντελεστές)

Αποδεικνύεται ότι το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου επιλύεται εύκολα αν άρουμε οποιονδήποτε από τους περιορισμούς που έθεσαν οι αρχαίοι Έλληνες. Τέτοιες αποδείξεις είναι π.χ. του Αρχιμήδη, του Δεινόστρατου.

Ο Αρχιμήδης (287-212 π.Χ.) χρησιμοποίησε την έλικα (σπείρα)     (βλ. τριχοτόμηση γωνίας) για να τετραγωνίσει τον κύκλο.

Στην μεγάλη επιτομή του Πάππου, η οποία πρέπει να γράφτηκε στην εποχή του αυτοκράτορα Διοκλητιανού (284-305 μ.Χ.),αναφέρεται ότι  ο Δεινόστρατος, ο αδελφός του Μεναίχμου και ο Νικομήδης χρησιμοποίησαν για τον τετραγωνισμό του κύκλου μια καμπύλη, η οποία για τον λόγο αυτό ονομάστηκε  τετραγωνίζουσα. Την καμπύλη αυτή την ανακάλυψε  ο Ιππίας  φαίνεται όμως ότι ο Δεινόστρατος  την χρησιμοποίησε για τον τετραγωνισμό του κύκλου.

Η τετραγωνίζουσα είναι μια καμπύλη η οποία μπορεί να διαγραφεί χρησιμοποιώντας το συνδυασμό δύο ανεξάρτητων μεταξύ τους κινήσεων.

Πρώτη είναι η ομαλή κυκλική κίνηση που διαγράφει η ακτίνα ΑΡ, όταν το Ρ κινείται πάνω στο τεταρτοκύκλιο ΔΒ, από το Δ προς το Β. Δεύτερη είναι η ευθύγραμμη ομαλή κίνηση που διαγράφει το τμήμα Α1Β1 (που είναι παράλληλο στην πλευρά ΔΓ)  όταν το Α1 κινείται πάνω στην πλευρά ΔΑ, από το Δ στο Α. Τα Α1 και Ρ εκκινούν ταυτόχρονα από το Δ και τερματίζουν ταυτόχρονα στο Α και στο Β αντίστοιχα.

Η τομή Μ των ΑΡ και Α1Β1 διαγράφει την τροχιά ΑΖ (κόκκινη) που είναι η τετραγωνίζουσα.

Αν είναι α το μήκος της πλευράς του τετραγώνου και τ το μήκος του τεταρτοκυκλίου ΔΒ τότε όπως απέδειξε ο Δεινόστρατος θα ισχύει: Από τη σχέση αυτή είναι δυνατόν να κατασκευαστεί ευθύγραμμο τμήμα μήκους τ, ως τέταρτο ανάλογο των (ΑΖ, α, α). Έτσι από το τ κατασκευάζεται το ευθύγραμμο τμήμα μήκους 4τ, όσο είναι και το μήκος του κύκλου που έχει ακτίνα α.

Αν κατασκευάσουμε ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές α και 4τ, τότε αυτό θα έχει εμβαδόν

δηλαδή ίσο με το εμβαδό του κύκλου.

Αρκεί τώρα να τετραγωνίσουμε το τρίγωνο, με τη βοήθεια γνωστής κατασκευής.

  Το ύψος προς την υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου, είναι μέσο ανάλογο των τμημάτων στα οποία χωρίζει την υποτείνουσα. Άρα το εμβαδό του κόκκινου τετραγώνου είναι ίσο με το γινόμενο α επί 2τ δηλαδή ίσο με το εμβαδό του κύκλου .

 

error: Το περιεχόμενο προστατεύεται!