Οι αρχαίοι Έλληνες είχαν καταφέρει να λύσουν το πρόβλημα της διχοτόμησης οποιασδήποτε γωνίας, με τη χρήση αποκλειστικά κανόνα και διαβήτη. Αποτέλεσμα αυτής της επιτυχίας ήταν ότι είχαν πλέον τη δυνατότητα κάνοντας διαδοχικές διχοτομήσεις να διαιρέσουν μια γωνία σε 4 ή 8 ή 16 ή 32 κ.τ.λ. μέρη.
Λογικό ήταν να τους απασχολήσει πλέον το πρόβλημα της τριχοτόμησης μιας γωνίας.
Δεν είναι γνωστές οι συνθήκες κάτω από τις οποίες γεννήθηκε το πρόβλημα, γνωρίζουμε όμως ότι το πρόβλημα αυτό είναι το τρίτο μεγάλο πρόβλημα που απασχόλησε τους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς, μετά τον τετραγωνισμό του κύκλου και τον διπλασιασμό του κύβου.
Η τελική μορφή του προβλήματος είναι η εξής: «Δίνεται οξεία γωνία ω. Να διαιρεθεί (με κανόνα και διαβήτη) σε τρεις ίσες γωνίες.». Ο λόγος της «απλοποίησης» αυτής είναι ότι η τριχοτόμηση της ορθής γωνίας είναι δυνατόν να γίνει (βλ. σχήμα), επομένως η τριχοτόμηση οποιαδήποτε αμβλείας γωνίας ανάγεται, με αφαίρεση της ορθής, σε τριχοτόμηση οξείας γωνίας.
Ο Ιππίας ο Ηλείος (420 π.Χ.) για την τριχοτόμηση γωνίας χρησιμοποίησε μία μη αλγεβρική καμπύλη, την τετραγωνίζουσα
Υποθέτουμε ότι δίνεται η γωνία . Από τυχαίο σημείο Α της Ox σχηματίζουμε το τετράγωνο ΟΑΒΓ και την τετραγωνίζουσα ΦΕ (κόκκινη). Η τετραγωνίζουσα τέμνει την Οy στο σημείο Ζ και το Η είναι η ορθή προβολή του Ζ στην πλευρά ΟΓ. Σύμφωνα με τον Ιππία λοιπόν αν είναι
τότε θα είναι
. Άρα κατασκευάστηκε το ένα τρίτο της δοσμένης γωνίας, κατά συνέπεια τριχοτομήθηκε η γωνία.
Ο Αρχιμήδης έδωσε δύο λύσεις στο πρόβλημα, αλλά και αυτές οι λύσεις δεν είναι αυστηρά με κανόνα και διαβήτη.
Στην πρώτη λύση χρησιμοποίησε το επόμενο σχήμα
Δίνεται για τριχοτόμηση η γωνία . Με κέντρο την κορυφή Ο χαράζουμε κύκλο με τυχαία ακτίνα ρ που τέμνει την πλευρά Οy στο σημείο Β. Από το Β φέρνουμε μια τέμνουσα που τέμνει τον κύκλο στο Δ και την προέκταση της Οx στο Γ, με τέτοιο τρόπο ώστε ΓΔ=ρ. Τότε τα τρίγωνα ΔΓΟ και ΟΒΔ είναι ισοσκελή. Άρα θα ισχύουν
. Επομένως
.
Το πρόβλημα της λύσης αυτής βρίσκεται στην κατασκευή της τέμνουσας ΒΔΓ ώστε ΔΓ=ρ, που δεν μπορεί να γίνει με κανόνα και διαβήτη, αλλά με ειδικό χάρακα που κατασκεύασε για το σκοπό αυτό ο Αρχιμήδης.
Για τη δεύτερη λύση του ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε την σπείρα του. Η Σπείρα του Αρχιμήδη (ή επίπεδη έλικα) είναι μία σπειροειδής καμπύλη όπως φαίνεται στο σχήμα.
Ο μαθηματικός τύπος, σε πολικές συντεταγμένες, που δίνει την καμπύλη αυτή είναι:
, όπου α και β είναι πραγματικοί αριθμοί. Το β είναι ο αριθμός που ορίζει την απόσταση των διαδοχικών περιελίξεων
Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι τα σημεία της καμπύλης παράγονται από ένα σημείο το οποίο κινείται με σταθερή ταχύτητα πάνω σε μια ημιευθεία η οποία περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από την αρχή της.
Γράφοντας λοιπόν μια σπείρα, ο Αρχιμήδης, που να αρχίζει από την κορυφή της προς τριχοτόμηση γωνίας, προσδιόρισε το σημείο Σ πάνω στη μία πλευρά της γωνίας. Αν το Β είναι σε τέτοια θέση ώστε να είναι και γράψουμε τον κύκλο (Ο,ΟΒ) αυτός τέμνει την σπείρα σε σημείο Α. Η ΟΑ χωρίζει την δοσμένη γωνία στο ένα τρίτο και δύο τρίτα κ.τ.λ. Το πρόβλημα αυτής της λύσης είναι η κατασκευή της σπείρας, η οποία δεν γίνεται με κανόνα και διαβήτη.
Σήμερα είμαστε σε θέση να γνωρίζουμε ότι το πρόβλημα της τριχοτόμησης οξείας γωνίας, με χρήση κανόνα και διαβήτη, είναι αδύνατο. Μπορούμε να αποδείξουμε τον ισχυρισμό αυτό:
Αν είναι ω η δοσμένη γωνία που θέλουμε να τριχοτομηθεί και θεωρήσουμε τότε θα έχουμε
και αν αντικαταστήσουμε την εφω με α και την εφθ με x θα έχουμε την εξίσωση
. (*)
Η κατασκευή των ριζών αυτής της εξίσωσης με κανόνα και διαβήτη είναι εφικτή μόνο στην περίπτωση που η εξίσωση αναλυθεί, με παραγοντοποίηση του πρώτου μέλους, σε δύο εξισώσεις, μία πρώτου και μία δευτέρου βαθμού. Όμως το 1837 αποδείχτηκε ότι τέτοια παραγοντοποίηση είναι αδύνατη.
(*) Ευχαριστώ τον κ. Μιχάλη Καυκά για την επισήμανσή του.
(Ο πάλαι ποτέ «Δαίμων του τυπογραφείου» σήμερα θα λέγεται «Δαίμων του Web»)
