Μενού Κλείσιμο

Λογικά Παραδείγματα

  • Από τις επόμενες δηλώσεις θα ξεχωρίσουμε ποιες είναι λογικές προτάσεις και ποιες όχι, ποιες είναι αληθείς και ποιες ψευδείς, κ.τ.λ.
    • «Ο αριθμός 3 διαιρεί τον αριθμό 10.» Είναι λογική πρόταση ψευδής.
    • «Ο κροκόδειλος μπορεί να πετάξει.» Είναι λογική πρόταση ψευδής.
    • «27=128» Είναι λογική πρόταση αληθής.
    • «x⋲N» Δεν είναι λογική πρόταση, καθόσον δεν είναι γνωστό ποιος είναι ο x και ποιο είναι το Ν.
    • «x2 =-1» Δεν είναι λογική πρόταση, καθόσον δεν είναι γνωστό ποιος είναι ο x.
    • «Αν x⋲N τότε  x2 =-1.»     Είναι λογική πρόταση ψευδής.
    • «Ποιοι είναι οι διαιρέτες του 123;» Δεν είναι λογική πρόταση.
    • «Ο πίνακας της Τζοκόντα είναι αριστούργημα.» Δεν είναι λογική πρόταση διότι το αν είναι αληθής ή ψευδής είναι θέμα υποκειμενικού γούστου.
  • «Ο Μήτσος, ο Τάκης και ο Κώστας είναι πρόσκοποι»

Είναι σύζευξη τριών λογικών προτάσεων p∧q∧r. p=«Ο Μήτσος είναι πρόσκοπος» , q=«Ο Τάκης είναι πρόσκοπος” και r=«Ο Κώστας είναι πρόσκοπος»

  • «Ο πρωθυπουργός της Ελλάδας θα είναι ο ή Παπανδρέου ή ο Καραμανλής».

Είναι λογική πρόταση της μορφής P∨Q. P=«Πρωθυπουργός θα είναι ο Παπανδρέου» και Q=«Πρωθυπουργός θα είναι ο Καραμανλής»

  • «Αν ο φίλος μας ο Ηλίας ή ο φίλος μας ο Νεκτάριος βγάλει άριστα, τότε η παρέα μας θα έχει αριστούχο.».

Είναι σύνθετη λογική πρόταση της μορφής (p∨q)⇒r

  • Α = «Όλα τα ξένα πορτοκάλια είναι άγευστα.» Λογική πρόταση ψευδής… Τι σημαίνει όχι Α;  –
    • ~Α = «Όλα τα ξένα πορτοκάλια δεν είναι άγευστα.» = «Τουλάχιστον ένα ξένο πορτοκάλι είναι εύγευστο.»
    • ~Α≠ «Όλα τα ξένα πορτοκάλια είναι καλά.»
    • ~Α≠ «Τουλάχιστον ένα πορτοκάλι δεν είναι άγευστο.»
    • ~Α≠ «Όλα τα ντόπια πορτοκάλια είναι καλά.»
  • «Θα πάμε στο γήπεδο αν και μόνο αν βρούμε εισιτήρια και δεν βρέξει.»

Είναι σύνθετη λογική πρόταση της μορφής p⇔(q∧~r). p=«Θα πάμε στο γήπεδο» , q=«Θα βρούμε εισιτήρια» , r=«Θα βρέξει».

  • «Αν δεν πάμε στη θάλασσα, τότε θα πάμε όταν τελειώσεις τις δουλειές σου.»

Είναι σύνθετη λογική πρόταση της μορφής ~p⇒(q⇒p). p=«Θα πάμε στη θάλασσα» , q=«Θα τελειώσεις τις δουλειές σου»

  • «Κάθε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του 2 μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών.»

Είναι λογική πρόταση της μορφής (p∧q)⇒r. Όπου p=«Ο αριθμός είναι άρτιος» , q=«Ο αριθμός είναι μεγαλύτερος του 2» , r=«Ο αριθμός εκφράζεται σαν άθροισμα 2 πρώτων αριθμών» .

Η πρόταση αυτή, γνωστή σαν εικασία του Goldbach, έχει διατυπωθεί από τον Goldbach  το 1742 και ακόμα δεν έχει αποδειχθεί αν είναι αληθής ή ψευδής. Άρα δεν είναι λογική πρόταση.

P = «Όλα τα κρασιά είναι αλκοολούχα ποτά.»
Q = «Η Μαυροδάφνη είναι κρασί.»
∴ S = «Η Μαυροδάφνη είναι αλκοολούχο ποτό.»

Η P είναι λογική πρόταση αληθής.
Η Q είναι λογική πρόταση αληθής.
Η σύζευξη P∧Q είναι αληθής.
Επομένως η συνεπαγωγή (P∧Q)⇒S  «Αν η Μαυροδάφνη είναι κρασί και όλα τα κρασιά είναι αλκοολούχα ποτά τότε η Μαυροδάφνη είναι αλκοολούχο ποτό» είναι αληθής.

P = «Όλα τα κρασιά είναι αλκοολούχα ποτά.»
Q = «Η πορτοκαλάδα είναι κρασί.»
∴ S = «Η πορτοκαλάδα είναι αλκοολούχο ποτό.»

Η P είναι λογική πρόταση αληθής.
Η Q είναι λογική πρόταση ψευδής.
Η σύζευξη P∧Q είναι ψευδής.
Επομένως η συνεπαγωγή (P∧Q)⇒S  «Αν η πορτοκαλάδα είναι κρασί και όλα τα κρασιά είναι αλκοολούχα ποτά τότε η πορτοκαλάδα είναι αλκοολούχο ποτό» είναι αληθής. Ωστόσο η πρόταση S είναι ψευδής.

P = «Όλα τα κρασιά είναι αναψυκτικά.»
Q = «Η πορτοκαλάδα είναι κρασί.»
∴ S = «Η πορτοκαλάδα είναι αναψυκτικό.»
H P είναι ψευδής, το ίδιο και η Q. Άρα και η σύζευξη P∧Q είναι ψευδής. Επομένως η συνεπαγωγή (P∧Q)⇒S, το ίδιο και η S είναι αληθής αν και στηρίζεται σε ψευδή υπόθεση.

  • Αν ο Τάσος είναι φτωχός, τότε δεν περνάει καλά. Ο Τάσος δεν περνάει καλά. Επομένως, ο Τάσος είναι φτωχός.

p=«Ο Τάσος είναι φτωχός»,  q=«Ο Τάσος περνάει καλά» και δίνεται η p⇒q. Η αντίστροφη q⇒p δεν είναι βέβαιο πως είναι αληθής. Άρα το συμπέρασμα p δεν είναι βέβαιο. Ο συλλογισμός είναι λάθος.

  • «Οι σκύλοι έχουν τέσσερα πόδια. Τα περισσότερα κατοικίδια ζώα είναι τετράποδα. Επομένως, τα περισσότερα κατοικίδια ζώα είναι σκύλοι.»

Σκύλος ⇒ 4 πόδια.   Κατοικίδιο μάλλον ⇒ 4 πόδια. Επομένως δεν προκύπτει: Κατοικίδιο μάλλον ⇒ σκύλος.

  • «Οι πλούσιοι έχουν αυτοκίνητο. Οι περισσότεροι άνθρωποι έχουν αυτοκίνητο. Επομένως, οι περισσότεροι άνθρωποι είναι πλούσιοι.»

Ομοίως είναι εσφαλμένος συλλογισμός.

  • (p ⇒ q)∧p = q –  Ο συλλογισμός είναι έγκυρος. Αφού η υπόθεση της συνεπαγωγής είναι αληθής και η συνεπαγωγή το ίδιο, θα είναι αληθές και το συμπέρασμα.
  • (p⇒q)∧q =p   –  Ο συλλογισμός δεν είναι έγκυρος. Το γεγονός ότι είναι αληθές το συμπέρασμα μιας αληθούς συνεπαγωγής δεν σημαίνει ότι είναι αληθής και η υπόθεση. Υπάρχει το ενδεχόμενο (ψ)⇒(α).
  • (p⇒q)∧(~q) = ~p  –  Ο συλλογισμός είναι έγκυρος. Το γεγονός ότι είναι ψευδές το συμπέρασμα μιας αληθούς συνεπαγωγής μας βεβαιώνει ότι είναι ψευδής η υπόθεσή της. Είναι η περίπτωση (ψ)⇒(ψ), αφού η περίπτωση (α)⇒(ψ) είναι ψευδής.

p : «Ο Ηρακλής είναι θεός.»   q : «Ο Ηρακλής είναι αθάνατος.»

  • Αν [p⇒q∨(~r)]∧[q⇒(p∧r)] μπορεί να βγει το συμπέρασμα p⇒r;

Κατασκευάζουμε των πίνακα λογικών τιμών για τις σχετικές λογικές προτάσεις

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
(1) p q r ~r q∨(~r) p∧r p⇒q∨(~r) q⇒(p∧r)
(2) α α α ψ α α α α α
(3) α α ψ α α ψ α ψ ψ
(4) α ψ α ψ ψ α ψ α ψ
(5) α ψ ψ α α ψ α α α
(6) ψ α α ψ α ψ α ψ ψ
(7) ψ α ψ α α ψ α ψ ψ
(8) ψ ψ α ψ ψ ψ α α α
(9) ψ ψ ψ α α ψ α α α

Στη στήλη (9) βάζουμε τις τιμές αλήθειας των δύο προηγούμενων στηλών και παρατηρούμε ότι οι συνδυασμοί – γραμμές που δίνουν αποτέλεσμα (α) είναι οι

(1) (2) (3) (10)
(1) p q r p⇒r
(2) α α α α
(5) α ψ ψ ψ
(8) ψ ψ α α
(9) ψ ψ ψ α

Οπότε η στήλη (10) δείχνει ότι δεν είναι σταθερή η λογική τιμή της p⇒r. Επομένως είναι αδύνατο να βγει συμπέρασμα για τη λογική τιμή της.

  • Έχουμε τρία κουτιά, ένα χρυσό, ένα ασημένιο και ένα χάλκινο. Ένα απ’αυτά περιέχει ένα διαμάντι. Στο χρυσό κουτί υπάρχει πινακίδα που γράφει «Tο διαμάντι είναι εδώ.». Στο ασημένιο κουτί η πινακίδα γράφει «Tο διαμάντι δεν είναι εδώ.» και στο χάλκινο κουτί η πινακίδα γράφει «Tο διαμάντι δεν είναι στο χρυσό.».

Γνωρίζουμε ότι μόνο μία από τις τρεις πινακίδες είναι αληθής. Που βρίσκεται το διαμάντι;

Κατασκευάζουμε τον πίνακα:

ΧΡΥΣΟ ΑΣΗΜΕΝΙΟ ΧΑΛΚΙΝΟ Για το Για το Για το Συμπέρασμα
«Είναι εδώ» «Δεν είναι εδώ» «Δεν είναι στο χρυσό» χρυσό Ασημένιο Χάλκινο
ΔΙΑΜΑΝΤΙ — — α α ψ Απορρίπτεται
— ΔΙΑΜΑΝΤΙ — ψ ψ α Αποδεκτή
— — ΔΙΑΜΑΝΤΙ ψ α α Απορρίπτεται

Άρα το διαμάντι βρίσκεται στο ασημένιο κουτί.

 

error: Το περιεχόμενο προστατεύεται!