- Από τις επόμενες δηλώσεις θα ξεχωρίσουμε ποιες είναι λογικές προτάσεις και ποιες όχι, ποιες είναι αληθείς και ποιες ψευδείς, κ.τ.λ.
-
- «Ο αριθμός 3 διαιρεί τον αριθμό 10.» Είναι λογική πρόταση ψευδής.
- «Ο κροκόδειλος μπορεί να πετάξει.» Είναι λογική πρόταση ψευδής.
- «27=128» Είναι λογική πρόταση αληθής.
- «x⋲N» Δεν είναι λογική πρόταση, καθόσον δεν είναι γνωστό ποιος είναι ο x και ποιο είναι το Ν.
- «x2 =-1» Δεν είναι λογική πρόταση, καθόσον δεν είναι γνωστό ποιος είναι ο x.
- «Αν x⋲N τότε x2 =-1.» Είναι λογική πρόταση ψευδής.
- «Ποιοι είναι οι διαιρέτες του 123;» Δεν είναι λογική πρόταση.
- «Ο πίνακας της Τζοκόντα είναι αριστούργημα.» Δεν είναι λογική πρόταση διότι το αν είναι αληθής ή ψευδής είναι θέμα υποκειμενικού γούστου.
- «Ο Μήτσος, ο Τάκης και ο Κώστας είναι πρόσκοποι»
Είναι σύζευξη τριών λογικών προτάσεων p∧q∧r. p=«Ο Μήτσος είναι πρόσκοπος» , q=«Ο Τάκης είναι πρόσκοπος” και r=«Ο Κώστας είναι πρόσκοπος»
- «Ο πρωθυπουργός της Ελλάδας θα είναι ο ή Παπανδρέου ή ο Καραμανλής».
Είναι λογική πρόταση της μορφής P∨Q. P=«Πρωθυπουργός θα είναι ο Παπανδρέου» και Q=«Πρωθυπουργός θα είναι ο Καραμανλής»
- «Αν ο φίλος μας ο Ηλίας ή ο φίλος μας ο Νεκτάριος βγάλει άριστα, τότε η παρέα μας θα έχει αριστούχο.».
Είναι σύνθετη λογική πρόταση της μορφής (p∨q)⇒r
- Α = «Όλα τα ξένα πορτοκάλια είναι άγευστα.» Λογική πρόταση ψευδής… Τι σημαίνει όχι Α; –
-
- ~Α = «Όλα τα ξένα πορτοκάλια δεν είναι άγευστα.» = «Τουλάχιστον ένα ξένο πορτοκάλι είναι εύγευστο.»
- ~Α≠ «Όλα τα ξένα πορτοκάλια είναι καλά.»
- ~Α≠ «Τουλάχιστον ένα πορτοκάλι δεν είναι άγευστο.»
- ~Α≠ «Όλα τα ντόπια πορτοκάλια είναι καλά.»
- «Θα πάμε στο γήπεδο αν και μόνο αν βρούμε εισιτήρια και δεν βρέξει.»
Είναι σύνθετη λογική πρόταση της μορφής p⇔(q∧~r). p=«Θα πάμε στο γήπεδο» , q=«Θα βρούμε εισιτήρια» , r=«Θα βρέξει».
- «Αν δεν πάμε στη θάλασσα, τότε θα πάμε όταν τελειώσεις τις δουλειές σου.»
Είναι σύνθετη λογική πρόταση της μορφής ~p⇒(q⇒p). p=«Θα πάμε στη θάλασσα» , q=«Θα τελειώσεις τις δουλειές σου»
- «Κάθε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του 2 μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών.»
Είναι λογική πρόταση της μορφής (p∧q)⇒r. Όπου p=«Ο αριθμός είναι άρτιος» , q=«Ο αριθμός είναι μεγαλύτερος του 2» , r=«Ο αριθμός εκφράζεται σαν άθροισμα 2 πρώτων αριθμών» .
Η πρόταση αυτή, γνωστή σαν εικασία του Goldbach, έχει διατυπωθεί από τον Goldbach το 1742 και ακόμα δεν έχει αποδειχθεί αν είναι αληθής ή ψευδής. Άρα δεν είναι λογική πρόταση.
P = «Όλα τα κρασιά είναι αλκοολούχα ποτά.»
Q = «Η Μαυροδάφνη είναι κρασί.»
∴ S = «Η Μαυροδάφνη είναι αλκοολούχο ποτό.»
Η P είναι λογική πρόταση αληθής.
Η Q είναι λογική πρόταση αληθής.
Η σύζευξη P∧Q είναι αληθής.
Επομένως η συνεπαγωγή (P∧Q)⇒S «Αν η Μαυροδάφνη είναι κρασί και όλα τα κρασιά είναι αλκοολούχα ποτά τότε η Μαυροδάφνη είναι αλκοολούχο ποτό» είναι αληθής.
P = «Όλα τα κρασιά είναι αλκοολούχα ποτά.»
Q = «Η πορτοκαλάδα είναι κρασί.»
∴ S = «Η πορτοκαλάδα είναι αλκοολούχο ποτό.»
Η P είναι λογική πρόταση αληθής.
Η Q είναι λογική πρόταση ψευδής.
Η σύζευξη P∧Q είναι ψευδής.
Επομένως η συνεπαγωγή (P∧Q)⇒S «Αν η πορτοκαλάδα είναι κρασί και όλα τα κρασιά είναι αλκοολούχα ποτά τότε η πορτοκαλάδα είναι αλκοολούχο ποτό» είναι αληθής. Ωστόσο η πρόταση S είναι ψευδής.
P = «Όλα τα κρασιά είναι αναψυκτικά.»
Q = «Η πορτοκαλάδα είναι κρασί.»
∴ S = «Η πορτοκαλάδα είναι αναψυκτικό.»
H P είναι ψευδής, το ίδιο και η Q. Άρα και η σύζευξη P∧Q είναι ψευδής. Επομένως η συνεπαγωγή (P∧Q)⇒S, το ίδιο και η S είναι αληθής αν και στηρίζεται σε ψευδή υπόθεση.
- Αν ο Τάσος είναι φτωχός, τότε δεν περνάει καλά. Ο Τάσος δεν περνάει καλά. Επομένως, ο Τάσος είναι φτωχός.
p=«Ο Τάσος είναι φτωχός», q=«Ο Τάσος περνάει καλά» και δίνεται η p⇒q. Η αντίστροφη q⇒p δεν είναι βέβαιο πως είναι αληθής. Άρα το συμπέρασμα p δεν είναι βέβαιο. Ο συλλογισμός είναι λάθος.
- «Οι σκύλοι έχουν τέσσερα πόδια. Τα περισσότερα κατοικίδια ζώα είναι τετράποδα. Επομένως, τα περισσότερα κατοικίδια ζώα είναι σκύλοι.»
Σκύλος ⇒ 4 πόδια. Κατοικίδιο μάλλον ⇒ 4 πόδια. Επομένως δεν προκύπτει: Κατοικίδιο μάλλον ⇒ σκύλος.
- «Οι πλούσιοι έχουν αυτοκίνητο. Οι περισσότεροι άνθρωποι έχουν αυτοκίνητο. Επομένως, οι περισσότεροι άνθρωποι είναι πλούσιοι.»
Ομοίως είναι εσφαλμένος συλλογισμός.
- (p ⇒ q)∧p = q – Ο συλλογισμός είναι έγκυρος. Αφού η υπόθεση της συνεπαγωγής είναι αληθής και η συνεπαγωγή το ίδιο, θα είναι αληθές και το συμπέρασμα.
- (p⇒q)∧q =p – Ο συλλογισμός δεν είναι έγκυρος. Το γεγονός ότι είναι αληθές το συμπέρασμα μιας αληθούς συνεπαγωγής δεν σημαίνει ότι είναι αληθής και η υπόθεση. Υπάρχει το ενδεχόμενο (ψ)⇒(α).
- (p⇒q)∧(~q) = ~p – Ο συλλογισμός είναι έγκυρος. Το γεγονός ότι είναι ψευδές το συμπέρασμα μιας αληθούς συνεπαγωγής μας βεβαιώνει ότι είναι ψευδής η υπόθεσή της. Είναι η περίπτωση (ψ)⇒(ψ), αφού η περίπτωση (α)⇒(ψ) είναι ψευδής.
p : «Ο Ηρακλής είναι θεός.» q : «Ο Ηρακλής είναι αθάνατος.»
- Αν [p⇒q∨(~r)]∧[q⇒(p∧r)] μπορεί να βγει το συμπέρασμα p⇒r;
Κατασκευάζουμε των πίνακα λογικών τιμών για τις σχετικές λογικές προτάσεις
(1) | (2) | (3) | (4) | (5) | (6) | (7) | (8) | (9) | |
(1) | p | q | r | ~r | q∨(~r) | p∧r | p⇒q∨(~r) | q⇒(p∧r) | |
(2) | α | α | α | ψ | α | α | α | α | α |
(5) | α | ψ | ψ | α | α | ψ | α | α | α |
(8) | ψ | ψ | α | ψ | ψ | ψ | α | α | α |
(9) | ψ | ψ | ψ | α | α | ψ | α | α | α |
Στη στήλη (9) βάζουμε τις τιμές αλήθειας των δύο προηγούμενων στηλών και παρατηρούμε ότι οι συνδυασμοί – γραμμές που δίνουν αποτέλεσμα (α) είναι οι
(1) | (2) | (3) | (10) | |
(1) | p | q | r | p⇒r |
(2) | α | α | α | α |
(5) | α | ψ | ψ | ψ |
(8) | ψ | ψ | α | α |
(9) | ψ | ψ | ψ | α |
Οπότε η στήλη (10) δείχνει ότι δεν είναι σταθερή η λογική τιμή της p⇒r. Επομένως είναι αδύνατο να βγει συμπέρασμα για τη λογική τιμή της.
- Έχουμε τρία κουτιά, ένα χρυσό, ένα ασημένιο και ένα χάλκινο. Ένα απ’αυτά περιέχει ένα διαμάντι. Στο χρυσό κουτί υπάρχει πινακίδα που γράφει «Tο διαμάντι είναι εδώ.». Στο ασημένιο κουτί η πινακίδα γράφει «Tο διαμάντι δεν είναι εδώ.» και στο χάλκινο κουτί η πινακίδα γράφει «Tο διαμάντι δεν είναι στο χρυσό.».
Γνωρίζουμε ότι μόνο μία από τις τρεις πινακίδες είναι αληθής. Που βρίσκεται το διαμάντι;
Κατασκευάζουμε τον πίνακα:
ΧΡΥΣΟ | ΑΣΗΜΕΝΙΟ | ΧΑΛΚΙΝΟ | Για το | Για το | Για το | Συμπέρασμα |
«Είναι εδώ» | «Δεν είναι εδώ» | «Δεν είναι στο χρυσό» | χρυσό | Ασημένιο | Χάλκινο | |
ΔΙΑΜΑΝΤΙ | — | — | α | α | ψ | Απορρίπτεται |
— | ΔΙΑΜΑΝΤΙ | — | ψ | ψ | α | Αποδεκτή |
— | — | ΔΙΑΜΑΝΤΙ | ψ | α | α | Απορρίπτεται |
Άρα το διαμάντι βρίσκεται στο ασημένιο κουτί.