Θεμελίωση

Και όμως οι κόκκινες είναι ευθείες και μάλιστα παράλληλες.

Δε θα το πιστεύετε αλλά οι οριζόντιες ευθείες είναι όλες παράλληλες μεταξύ τους!!

Παρατηρώντας το αριστερό σχήμα, βλέπουμε ότι η μαύρη ημιευθεία είναι προέκταση της μπλε. Λάθος! Είναι προέκταση της κόκκινης! Μπορείτε να το  διαπιστώσετε με ένα χάρακα αλλά… ούτε και σ’αυτό πρέπει να έχετε εμπιστοσύνη.

Τέλος πρέπει να αναλογιστούμε πόσοι αιώνες πέρασαν μέχρι τα «μάτια της λογικής» του ανθρώπου να «δουν» ότι η Γη δεν είναι επίπεδη. Είναι σφαιρική και μάλιστα κινείται.

Και για να θολώσω λίγο τα νερά σας προκαλώ να φανταστείτε πως είσαστε ένα μικρό μερμηγκάκι που γεννήθηκε και γέρασε πάνω σε μια μπάλα του μπάσκετ. Η εικόνα του κόσμου που θα έχετε σχηματίσει είναι πως είναι απέραντος και επίπεδος, πράγμα πέρα για πέρα εσφαλμένο.

Μαθηματική λογική

Έχοντας όλα αυτά υπόψη μας, θα πρέπει να στήσουμε τα θεμέλια της λογικής μας, με βάση την Αριστοτέλεια άποψη (είναι, δεν είναι) δίνοντας τους επόμενους ορισμούς:

1. Τι λέγεται λογική πρόταση:
   Κάθε δήλωση η οποία μπορεί να χαρακτηριστεί ή αληθής ή ψευδής (όχιαληθής και ψευδής ταυτόχρονα) θα λέγεται λογική πρόταση ο δε χαρακτηρισμός της αληθής ή ψευδής θα λέγεται λογική τιμή της.     .
   Παραδείγματα:
   α.Η δήλωση «Το σημερινό ελληνικό αλφάβητο έχει 24 γράμματα» είναι λογική πρόταση με λογική τιμή Α (:αληθής).
   β. Η δήλωση «Ο αριθμός 12 είναι τριψήφιος» είναι λογική πρόταση με λογική τιμή Ψ (:ψευδής).
   γ. Η δήλωση «Το τραγούδι που ήρθε 4^ο  στο διαγωνισμό Eurovision είναι πολύ ωραίο» δεν είναι λογική πρόταση, διότι η λογική τιμήεξαρτάται από τη γνώμη του δηλούντος. Η δήλωση αυτή εκφράζει γνώμη, καθόλα σεβαστή, με την οποία όμως δεν είναι κανένας υποχρεωμένος να συμφωνήσει.
   δ. «Ο αριθμός 8 διαιρείται ακριβώς με το 2» είναι αληθής (Α) λογική πρόταση.
   ε. Η δήλωση p(x): «Ο αριθμός x διαιρείται ακριβώς με το 2» δεν είναι λογική πρόταση, καθόσον είναι αδύνατο να της αποδώσουμε τιμή (Α ή Ψ), αφού δεν γνωρίζουμε ποιος είναι ο αριθμός x.
   στ.  Η δήλωση «Αύριο θα βρέχει» δεν είναι λογική πρόταση. Είναι πρόβλεψη που δεν μπορούμε να ξέρουμε την λογική τιμή της.
   ζ. Η δήλωση q: «Σήμερα είναι Κυριακή» δεν είναι λογική πρόταση. Γίνεται όμως λογική πρόταση μόλις γίνει γνωστή η ημέρα που έγινε η δήλωση.
   η. «Τα α,ε,ο,ω,η,ι,υ είναι τα φωνήεντα του ελληνικού αλφαβήτου» – Είναι λογική πρόταση αληθής.
   θ.  «Ἡ λέξη βιβλίο αποτελείται από 12 γράμματα» – Είναι λογική πρόταση ψευδής.
   ι. «Ο αριθμός 5 είναι περιττός και σύνθετος» – Είναι λογική πρόταση ψευδής. (αφού ο 5 είναι μεν περιττός δεν είναι όμως σύνθετος – Να θυμίσω ότι περιττός λέγεται ο αριθμός που δεν διαιρείται δια 2 και σύνθετος ο αριθμός που έχει και άλλους ακέραιους διαιρέτες εκτός από τον εαυτό του και τη μονάδα)
2. Τι λέγεται προτασιακός τύπος.
   Η δήλωση p(x) του παραδείγματος (ε), γίνεται λογική πρόταση μόλις γίνει γνωστή η τιμή του x. Μια τέτοια δήλωση p(x) θα λέγεται προτασιακός τύπος. Το ίδιο συμβαίνει με τη δήλωση q(σήμερα) του παραδείγματος (ζ). Γίνεται λογική πρόταση μόλις γίνει γνωστή η τιμή της μεταβλητής [σήμερα].
3. Τι λέγεται λογικό βασικό σύνολο Ω.
   Εάν θεωρήσουμε το σύνολο που περιέχει όλες τις λογικές προτάσεις και όλους τους λογικούς προτασιακούς τύπους, αυτό θα το λέμε λογικό βασικό σύνολο.
4. Τι λέγεται λογική πράξη.
   Θεωρούμε δύο στοιχεία του συνόλου Ω, τις λογικές προτάσεις p και q. Οποιαδήποτε «διεργασία» μεταξύ των προτάσεων p και q έχει σαν αποτέλεσμα μια τρίτη λογική πρόταση, την r, λέγεται λογική πράξη στο Ω. Η λογική πράξη r που προκύπτει κατόπιν πράξεως από τις p και q λέγεται σύνθετη λογική πρόταση. Οι μη σύνθετες λ.π. λέγονται απλές.
   
5.  Οι συνήθεις λογικές πράξεις είναι:

•  α. Η σύζευξη: Συμβολίζεται με το σύμβολο «⋀» και εκφράζεται με το σύνδεσμο «και». Δηλαδή η σχέση r=p⋀q εκφράζεται «r είναι p και q».
  Παραδείγματα:
  –
  p : «Ο Νίκος είναι μοναχοπαίδι» (απλή λ.π.)
  q : «Ο Νίκος είναι σημαιοφόρος» (απλή λ.π.)
  p⋀q : «Ο Νίκος είναι μοναχοπαίδι και (ο Νίκος είναι) σημαιοφόρος» (σύνθετη λ.π.)
  –
  p : «Ο αριθμός 6 διαιρείται ακριβώς δια 3.»
  q : «Ο αριθμός 8 διαιρείται ακριβώς δια 2.»
  p⋀q : «Ο αριθμός 6 διαιρείται ακριβώς δια 3 και (ο αριθμός) 8 διαιρείται ακριβώς δια 2.»
  –
  p : «Φέτος η καθαρή Δευτέρα πέφτει ημέρα Πέμπτη»
  q : «Η Γη Περιστρέφεται γύρω από άξονα.»
  p⋀q : «Φέτος η καθαρή Δευτέρα πέφτει ημέρα Πέμπτη και Η Γη Περιστρέφεται γύρω από άξονα.»
  Είναι προφανές πως η σύζευξη r είναι αληθής (Α) μόνο στην περίπτωση που είναι αληθείς και η p και η q. Αν μια τουλάχιστον από τις p και q είναι ψευδής (Ψ) τότε και η σύζευξή τους r θα είναι ψευδής.
  Αν p : «Ο αριθμός 21 είναι πρώτος» και q : «Ο αριθμός 21 είναι περιττός » τότε θα είναι  p⋀q : « Ο αριθμός 21 είναι πρώτος και περιττός».
  Ασφαλώς η πρόταση αυτή είναι ψευδής αφού ο αριθμός 21 δεν είναι πρώτος.
  Αν p : «Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο» και q : «Η ακτίνα του κύκλου είναι 4cm» τότε p⋀q : «Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο και η ακτίνα του κύκλου είναι 4cm».
  Η πρόταση αυτή θα είναι αληθής μόνο αν είναι αλήθεια ότι το ΑΒΓ είναι ισόπλευρο και είναι πράγματι η ακτίνα του κύκλου 4cm.
  Αν p(α) : «Ο αριθμός α είναι άρτιος» και p’(α) : «Ο αριθμός α δεν είναι άρτιος» τότε θα είναι p⋀q : «Ο αριθμός α είναι και δεν είναι άρτιος». Η πρόταση αυτή είναι ψευδής ανεξάρτητα από την τιμή του α.
• β. Η διάζευξη: Συμβολίζεται με το σύμβολο «⋁» και εκφράζεται με το σύνδεσμο «ή». Δηλαδή η σχέση r=p⋁q εκφράζεται «r είναι p ή q».
  Παραδείγματα:
  –
  p : «Ο Νίκος είναι μοναχοπαίδι» (απλή λ.π.)
  q : «Ο Νίκος είναι σημαιοφόρος» (απλή λ.π.)
  p⋁q : «Ο Νίκος είναι μοναχοπαίδι ή (ο Νίκος είναι) σημαιοφόρος» (σύνθετη λ.π.)
  –
  p: «Ο αριθμός 6 διαιρείται ακριβώς δια 3.»
  q : «Ο αριθμός 8 διαιρείται ακριβώς δια 2.»
  p⋁q : «Ο αριθμός 6 διαιρείται ακριβώς δια 3 ή (ο αριθμός) 8 διαιρείται ακριβώς δια 2.»
  –
  p: «Φέτος η καθαρή Δευτέρα πέφτει ημέρα Πέμπτη»
  q : «Η Γη Περιστρέφεται γύρω από άξονα.»
  p⋁q : «Φέτος η καθαρή Δευτέρα πέφτει ημέρα Πέμπτη ή η Γη Περιστρέφεται γύρω από άξονα.»Είναι προφανές πως η διάζευξη r είναι αληθής (Α) μόνο στις περιπτώσεις που είναι αληθής τουλάχιστον η μία από τις p και q. Αν και οι δύο p και q είναι ψευδής (Ψ) τότε και η διάζευξή τους r θα είναι ψευδής.
  Αν p : «Ο αριθμός 21 είναι πρώτος» και q : «Ο αριθμός 21 είναι περιττός » τότε θα είναι  p⋁q : « Ο αριθμός 21 είναι πρώτος ή περιττός».
  Ασφαλώς η πρόταση αυτή είναι ψευδής αφού ο αριθμός 21 δεν είναι πρώτος.
  Αν p : «Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο» και q : «Η ακτίνα του κύκλου είναι 4cm» τότε p⋁q : «Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο ή η ακτίνα του κύκλου είναι 4cm».
  Η πρόταση αυτή θα είναι αληθής μόνο αν είναι αλήθεια ότι το ΑΒΓ είναι ισόπλευρο η αν είναι πράγματι η ακτίνα του κύκλου 4cm.
  Αν p(α) : «Ο αριθμός α είναι άρτιος» και p’(α) : «Ο αριθμός α δεν είναι άρτιος» τότε θα είναι p⋁q : «Ο αριθμός α είναι ή δεν είναι άρτιος». Η πρόταση αυτή είναι αληθής ανεξάρτητα από την τιμή του α.
• γ. Η αποκλειστική διάζευξη : Συμβολίζεται με το σύμβολο «⊻» και εκφράζεται με το σύνδεσμο «ή» δύο φορές. Δηλαδή η σχέση r=p⊻q εκφράζεται «r είναι ή p ή q».
  Παραδείγματα:
  –
  p : «Ο Νίκος είναι μοναχοπαίδι» (απλή λ.π.)
  q : «Ο Νίκος είναι σημαιοφόρος» (απλή λ.π.)
  p⊻q : «Ο Νίκος είναι ή μοναχοπαίδι ή (ο Νίκος είναι) σημαιοφόρος» (σύνθετη λ.π.)
  –
  p: «Ο αριθμός 6 διαιρείται ακριβώς δια 3.»
  q : «Ο αριθμός 8 διαιρείται ακριβώς δια 2.»
  p⊻q : «Ή ο αριθμός 6 διαιρείται ακριβώς δια 3 ή (ο αριθμός) 8 διαιρείται ακριβώς δια 2.»
  –
  p: «Φέτος η καθαρή Δευτέρα πέφτει ημέρα Πέμπτη»
  q : «Η Γη Περιστρέφεται γύρω από άξονα.»
  p⊻q : «Ή φέτος η καθαρή Δευτέρα πέφτει ημέρα Πέμπτη ή η Γη Περιστρέφεται γύρω από άξονα.»Είναι προφανές πως η αποκλειστική διάζευξη r είναι αληθής (Α) μόνο στις περιπτώσεις που είναι αληθής ακριβώς μία από τις p και q και όχι αν είναι και οι δύο p και q είναι ψευδής (Ψ) ή αν είναι και οι δύο αληθείς.
  Αν p : «Ο αριθμός 21 είναι πρώτος» και q : «Ο αριθμός 21 είναι περιττός » τότε θα είναι  p⊻q : « Ο αριθμός 21 είναι ή πρώτος ή περιττός».
  Ασφαλώς η πρόταση αυτή είναι ψευδής αφού ο αριθμός 21 δεν είναι πρώτος αλλά είναι περιττός.
  Αν p : «Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο» και q : «Η ακτίνα του κύκλου είναι 4cm» τότε p⊻q : «Ή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο ή η ακτίνα του κύκλου είναι 4cm».
  Η πρόταση αυτή θα είναι αληθής αν είναι αλήθεια ότι το ΑΒΓ είναι ισόπλευρο και ο κύκλος έχει ακτίνα διαφορετική των 4cm. Επίσης θα είναι αληθής η πρόταση αν το τρίγωνο ΑΒΓ δεν είναι ισόπλευρο αλλά ο κύκλος έχει ακτίνα 4cm.
  Αν p(α) : «Ο αριθμός α είναι άρτιος» και p’(α) : «Ο αριθμός α δεν είναι άρτιος» τότε θα είναι p⊻q : «Ο αριθμός α ή είναι ή δεν είναι άρτιος». Η πρόταση αυτή είναι αληθής ανεξάρτητα από την τιμή του α.
• δ. Η συνεπαγωγή : Συμβολίζεται με το σύμβολο «⇒» και εκφράζεται με τους συνδέσμους «εάν…τότε…». Δηλαδή η σχέση p⇒q εκφράζεται «Εάν p τότε q».
  στην περίπτωση αυτή η p λέγεται υπόθεση και η q λέγεται συμπέρασμα της συνεπαγωγής. Επί πλέον η πρόταση p λέγεται ικανή για την q ενώ η q λέγεται αναγκαία της p. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να δώσουμε ιδιαίτερη σημασία στο ρόλο της καθεμιάς. Ο λόγος που απαιτεί την προσοχή μας είναι πως ενώ οι προηγούμενες πράξεις είναι αντιμεταθετικές, δηλαδή ισχύει προφανώς ότι p⋀q=q⋀p, p⋁q=q⋁p και p⊻q=q⊻p δεν ισχύει το ίδιο για την συνεπαγωγή, δηλαδή εν γένει είναι p⇒q ≠q⇒p
  Παραδείγματα:
  –
  p : «Ο Νίκος είναι μοναχοπαίδι» (απλή λ.π. – υπόθεση)
  q : «Ο Νίκος είναι σημαιοφόρος» (απλή λ.π. – συμπέρασμα)
  p⇒q : «Εάν ο Νίκος είναι μοναχοπαίδι τότε (ο Νίκος είναι) σημαιοφόρος» (σύνθετη λ.π.)
  Η συνεπαγωγή q⇒p : «Εάν ο Νίκος είναι σημαιοφόρος τότε (ο Νίκος είναι) μοναχοπαίδι» που έχει αλλάξει τους ρόλους των p και q λέγεται αντίστροφη της προηγούμενης συνεπαγωγής.
  –
  p: «Ο αριθμός 6 διαιρείται ακριβώς δια 3.»
  q : «Ο αριθμός 8 διαιρείται ακριβώς δια 2.»
  p⇒q : «Εάν ο αριθμός 6 διαιρείται ακριβώς δια 3 τότε (ο αριθμός) 8 διαιρείται ακριβώς δια 2.»
  –
  p: «Φέτος η καθαρή Δευτέρα πέφτει ημέρα Πέμπτη»
  q : «Η Γη Περιστρέφεται γύρω από άξονα.»
  p⇒q : «Εάν φέτος η καθαρή Δευτέρα πέφτει ημέρα Πέμπτη τότε η Γη Περιστρέφεται γύρω από άξονα.»Στο τελευταίο παράδειγμα παρατηρείστε ότι η υπόθεση p είναι ψευδής, πράγμα που αυτόματα κάνει αδιάφορη την τιμή του συμπεράσματος παρατηρείστε λοιπόν ότι η συνεπαγωγή δεν ψεύδεται.
  Η μοναδική περίπτωση που μιά συνεπαγωγή θα είναι ψευδής θα είναι η (Α)⇒(Ψ). όλοι οι άλλοι συνδυασμοί οδηγούν σε αληθή πρόταση.
  Αν p : «Ο αριθμός 21 είναι πρώτος» και q : «Ο αριθμός 21 είναι περιττός » τότε θα είναι  p⇒q : «Αν ο αριθμός 21 είναι πρώτος τότε είναι και περιττός».
  Ασφαλώς η πρόταση αυτή είναι αληθής αφού ο αριθμός 21 δεν είναι πρώτος (ψευδής υπόθεση). Η αντίστροφη συνεπαγωγή q⇒p : «Αν ο αριθμός 21 είναι περιττός τότε είναι και πρώτος» είναι ψευδής καθόσον έχει αληθή υπόθεση αλλά ψευδές συμπέρασμα.
  Αν p(α) : «Ο αριθμός α είναι άρτιος» και p’(α) : «Ο αριθμός α δεν είναι άρτιος» τότε θα είναι p(α)⇒p'(α) : «Ο αριθμός α είναι άρτιος τότε δεν είναι άρτιος». Εάν α είναι άρτιος τότε έχουμε (Α)⇒(Ψ) άρα η συνεπαγωγή θα είναι ψευδής.
  Εάν α δεν είναι άρτιος τότε έχουμε (Ψ)⇒(Α) άρα η συνεπαγωγή θα είναι αληθής.
•  ε. Η ισοδυναμία : Συμβολίζεται με το σύμβολο «⇔» και εκφράζεται με την έκφραση «αν και μόνο αν» ή«τότε και μόνο τότε»  ή«ικανή και αναγκαία συνθήκη» ή «ισοδυναμεί» δηλαδή Π⇔Ρ εκφράζεται: «Π αν και μόνο αν Ρ» ή Π τότε και μόνο τότε Ρ» ή «Π είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για την Ρ» ή «Π ισοδυναμεί Ρ».
  Παραδείγματα:
  –
  p : «Ο Νίκος είναι μοναχοπαίδι»
  q : «Ο Νίκος είναι σημαιοφόρος»
  p⇔q : «Ο Νίκος είναι μοναχοπαίδι αν και μόνο αν (ο Νίκος είναι) σημαιοφόρος»
  Στην περίπτωση της ισοδυναμίας έχουμε αντιμεταθετική πράξη δηλαδή (p⇔q)=(q⇔p)
  –
  p : «Ο αριθμός 6 διαιρείται ακριβώς δια 3.»
  q : «Ο αριθμός 8 διαιρείται ακριβώς δια 2.»
  p⇔q : «Ο αριθμός 6 διαιρείται ακριβώς δια 3 αν και μόνο αν (ο αριθμός) 8 διαιρείται ακριβώς δια 2.»-p : «Φέτος η καθαρή Δευτέρα πέφτει ημέρα Πέμπτη»
  q : «Η Γη Περιστρέφεται γύρω από άξονα.»
  p⇔q : «Φέτος η καθαρή Δευτέρα πέφτει ημέρα Πέμπτη αν και μόνο αν η Γη Περιστρέφεται γύρω από άξονα.»
  Η ισοδυναμία είναι αληθής μόνο στην περίπτωση που οι λογικές προτάσεις είναι ταυτόχρονα αληθείς ή ταυτόχρονα ψευδείς.
• στ. Αν έχουμε μια λογική πρόταση p : «Το μαντείο των Δελφών έβγαζε χρησμούς» τότε η λογική πρόταση p’ ή ~p : «Το μαντείο των Δελφών δεν έβγαζε χρησμούς» λέγεται αντίθετη πρόταση ή άρνηση της p. Προφανώς αν η p είναι (Α) τότε η ~p είναι (Ψ) και όταν p είναι (Ψ) η ~p είναι (Α).
  Παραδείγματα:
  Αν p : «Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές» τότε η άρνηση της Π θα είναι η πρόταση ~p : «Το τρίγωνο ΑΒΓ δεν είναι ισοσκελές».
  Στην προκειμένη περίπτωση υπάρχει για την άρνηση και εναλλακτική διατύπωση ~p : «Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι σκαληνό», δεδομένου ότι αν το τρίγωνο δεν
  είναι ισοσκελές δεν μπορεί να είναι ούτε ισόπλευρο.
  Αν q : «Ο αριθμός x είναι μεγαλύτερος από το 3» τότε η άρνηση της q θα είναι η πρόταση ~q : «Ο αριθμός x δεν είναι μεγαλύτερος του 3».
  Και στην περίπτωση αυτή υπάρχει εναλλακτική διατύπωση ~q : «Ο αριθμός x είναι ή μικρότερος από το 3 ή ίσος με το 3» ή ακόμα ~q : «Ο αριθμός x είναι μικρότερος ή ίσος του 3».
  Αν r : «Η Πελοπόννησος έχει τουλάχιστον 3 νομούς.» τότε η άρνηση της Σ θα είναι η πρόταση ~r : «Η Πελοπόννησος δεν έχει τουλάχιστον 3 νομούς.» ή εναλλακτικά ~r : «Η Πελοπόννησος έχει το πολύ 2 νομούς.» ή ακόμα  ~r : «Η Πελοπόννησος έχει λιγότερους από 2 νομούς.»
  Αν Τ : «Κάθε πρόβατο του κοπαδιού είναι αρσενικό.» τότε η άρνηση της Τ θα είναι η πρόταση ~Τ : «Δεν είναι κάθε πρόβατο του κοπαδιού αρσενικό». Και στην περίπτωση αυτή υπάρχει εναλλακτική διατύπωση ~Τ : «Στο κοπάδι, υπάρχει τουλάχιστον ένα πρόβατο θηλυκό».Στον πίνακα που ακολουθεί βλέπουμε τις λογικές τιμές που παίρνουν οι πράξεις για τους διάφορους συνδυασμούς λογικών τιμών των p και q.

Αν σε μία λογική παράσταση υπάρχουν διάφορες λογικές πράξεις τότε τη σειρά εκτέλεσής τους την προσδιορίζουμε με παρενθέσεις.

Σε περίπτωση που δεν υπάρχουν παρενθέσεις, οι πράξεις εκτελούνται με την εξής προτεραιότητα (από την υψηλότερη προς τη χαμηλότερη):

1. Άρνηση (αντίθετη)
2. Σύζευξη.
3. Διάζευξη.
4. Συνεπαγωγή.
5. Ισοδυναμία.

Στο σημείο αυτό και πριν κλείσουμε με τις βασικές έννοιες της λογικής είναι απαραίτητο να αναφερθούμε και να αποδείξουμε μερικούς λογικούς κανόνες:

•  ~(~p)=p. Δεν είναι άλλος από τον γνωστό κανόνα του συντακτικού «Δύο αρνήσεις κάνουν μια κατάφαση». Η απόδειξη είναι προφανής και μπορεί να γίνει αν φτιάξετε τον πίνακα αλήθειας των προτάσεων p , ~p  και ~(~p)
•  p⋀(~p) είναι πάντοτε ψευδής. Η αλήθεια της πρότασης είναι προφανής καθόσον είναι αδύνατον οι p και ~p να είναι ταυτόχρονα αληθείς. Κάθε πρόταση ή προτασιακός τύπος που είναι πάντα ψευδής λέγεται αντίφαση.
  
• p⋁(~p) είναι πάντοτε αληθής. Η αλήθεια της πρότασης είναι προφανής καθόσον είναι αδύνατον οι p και ~p να είναι ταυτόχρονα ψευδείς. Κάθε πρόταση ή προτασιακός τύπος που είναι πάντα αληθής λέγεται ταυτολογία.
• (p⇒q) ισοδυναμεί με (~q)⇒(~p). Οι δύο συνεπαγωγές λέγονται αντιθετοαντίστροφες και η απόδειξη της ισοδυναμίας τους δίνεται με τον επόμενο πίνακα αλήθειας:

 

p	q	p⇒q	~q	~p	(~q)⇒(~p)	(p⇒q)⇔[(~q)⇒(~p)]
Α	Α	Α	Ψ	Ψ	Α	Α
Α	Ψ	Ψ	Α	Ψ	Ψ	Α
Ψ	Α	Α	Ψ	Α	Α	Α
Ψ	Ψ	Α	Α	Α	Α	Α

Ο κανόνας της αντιθετοαντιστροφής χρησιμοποιείται ευρύτατα. Πολλές φορές αντί να αποδείξουμε μια συνεπαγωγή αποδεικνύουμε την αντιθετοαντίστροφή της που είναι (ενδεχομένως) ευκολότερη. Η μέθοδος αυτή είναι η γνωστή σε όλους από τα μαθηματικά με τον όρο απαγωγή σε άτοπο.

Στο λήμμα λογικά θεωρήματα θα βρείτε και άλλες προτάσεις που μπορεί να σας φανούν χρήσιμες.

Στο λήμμα της Άλγεβρας θα βρείτε τη θεωρία των συνόλων που συμπληρώνει τη μαθηματική λογική.

---

Άλγεβρα Boole

Ο μαθηματικός George Boole (1815-1864)  παρουσίασε το 1847 με τη βοήθεια των μαθηματικών εννοιών της εποχής του, μία αλγεβρική δομή, την γνωστή σήμερα σαν άλγεβρα Μπουλ, ή δυαδική άλγεβρα, η οποία εκφράζει την Αριστοτέλεια λογική, χρησιμοποιώντας μεταβλητές δύο τιμών 0 ή 1 (λογικές μεταβλητές). Ουσιαστικά η άλγεβρα αυτή είναι ο θεμέλιος λίθος για την σχεδίαση του λογισμικού και των κυκλωμάτων των ηλεκτρονικών υπολογιστών, επειδή είναι ιδανική για χειρισμό λογικών συναρτήσεων και λογικών πράξεων στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης.

Ο επόμενος ορισμός της άλγεβρας Boole στηρίζεται σε συγκεκριμένα αξιώματα που παρουσίασε το 1933 ο μαθηματικός Edward Vermilye Huntington, (1874-1952).

Αν οι τιμές αληθείας 0 και 1 ερμηνευθούν ως ακέραιοι αριθμοί τότε οι βασικές πράξεις της Άλγεβρας Boole εκφράζονται με τη βοήθεια των πράξεων της αριθμητικής ως εξής:

• Η πράξη ⊗ που αντιστοιχεί στη σύζευξη και ισχύει x⊗y=x·y
• Η πράξη ⊕ που αντιστοιχεί στη διάζευξη και ισχύει x⊕y=x+y-x·y.
• Η πράξη ¬ που αντιστοιχεί στην άρνηση και ισχύει ¬x=1-x.

Εναλλακτικά, οι τιμές των x∧y, x∨y και ¬x μπορούν να εκφράζονται με χρήση πίνακα αλήθειας:

Πίνακες αληθείας
	x y x⊗y x⊕y 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1			x ¬x 0 1 1 0

Λόγω των επόμενων ταυτοτήτων μπορεί κανείς να πει ότι μόνο η άρνηση και μία από τις άλλες δύο πράξεις είναι βασικές:

• x⊗y = ¬(¬x⊕¬y). Άρα η ¬ και η ⊕ μπορούν να ορίσουν την ⊗.
• x⊕y = ¬(¬x⊗¬y). Άρα η ¬ και η ⊗ μπορούν να ορίσουν την ⊕.