Μενού Κλείσιμο

Η ομορφότερη ταυτότητα (*)

Ηλίας Σκαρδανάς

Ανάμεσα στους άπειρους αριθμούς που συναντάμε, υπάρχουν και κάποιοι που δεν είναι απλώς σύμβολα με ποσοτική σημασία, αλλά έχουν επί πλέον και ένα βαθύτερο νόημα, έχουν μια αυξημένη επιστημονική βαρύτητα. Τέτοιοι είναι π.χ. οι αριθμοί «0» – μηδέν, «1» – ένα, «π», «i» – γιώτ, «e». Αυτούς τους αριθμούς θα συμφωνήσουμε να τους αποκαλούμε σημαντικούς αριθμούς.

Κι όμως είναι αλήθεια! Οι 5 πιο σημαντικοί από τους σημαντικούς αριθμούς (και μόνον αυτοί) συνυπάρχουν, σ’ αυτή την εξίσωση!! Αυτή είναι η αιτία για την οποία η εξίσωση αυτή είναι στα μάτια των Μαθηματικών «η πιο όμορφη εξίσωση που υπάρχει» και προφανώς είναι τεράστια η φιλοσοφική της σημασία.

Πέρα από την φιλοσοφία, η σχέση αυτή μας έδωσε και κάτι παραπάνω. Χρησιμοποιήθηκε στην απόδειξη ότι ο αριθμός π είναι υπερβατικός, δηλαδή ότι δεν αποτελεί λύση κάποιας πολυωνυμικής εξίσωσης με ρητούς συντελεστές.

Η σχέση αυτή είναι γνωστή με το όνομα «ταυτότητα του Euler».

Το μεγάλο ερώτημα είναι, με ποια διαδρομή καταλήγουμε στην εξίσωση αυτή; Η ιστορία αρχίζει με τη σειρά Taylor που είναι εφαρμογή του αντίστοιχου θεωρήματος:  

Αν μια συνάρτηση f είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και  {\color{Blue} x_{0}\in \Delta }, τότε για κάθε  {\color{Blue} x\in \Delta } ισχύει η σχέση    {\color{Blue} f\left ( x \right )=\sum_{\nu =0}^{\infty }\frac{f^{\left ( \nu \right )}\left ( x_{0} \right )}{\nu !}\cdot \left ( x-x_{0} \right )^{\nu }}    

και  εδώ πρέπει να σημειώσουμε ότι {\color{Blue} f^{\left ( 0 \right )}\left ( x \right )\equiv f\left ( x \right )}   και 0!=1.

Από το θεώρημα αυτό προκύπτουν οι σειρές Maclaurin:

{\color{Blue} \eta \mu \, x=\frac{x}{1!}-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\frac{x^{9}}{9!}-\frac{x^{11}}{11!}+....=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\frac{x^{9}}{9!}-\frac{x^{11}}{11!}+....}

{\color{Blue} \eta \mu \, x=\frac{x^{0}}{0!}-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\frac{x^{8}}{8!}-\frac{x^{10}}{10!}+....=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\frac{x^{8}}{8!}-\frac{x^{10}}{10!}+....}

{\color{Blue} e^{x}=\sum_{\nu =}^{}\frac{x^{\nu }}{\nu !}=\frac{x^{0}}{0!}+\frac{x^{1}}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\frac{x^{5}}{5!}+....}

Από τις σειρές αυτές ο Euler οδηγήθηκε στην εξίσωσή του

 \inline {\color{Blue} e^{ix}=\sigma \upsilon \nu \, x+i\cdot \eta \mu \, x}  

από την οποία με αντικατάσταση του x με π προκύπτει 

{\color{Blue} e^{i\pi}=\sigma \upsilon \nu \, \pi+i\cdot \eta \mu \, \pi=-1+i\cdot 0=-1} .  

Άρα η ταυτότητα του Euler:       \large {\color{Blue} e^{i\pi}+1=0}.

Αν θέλεις περισσότερες λεπτομέρειες της διαδρομής πάτησε εδώ.

(*)    Η εξίσωση του Euler κέρδισε το 1988 τον τίτλο της πιο όμορφης εξίσωσης, σε διαγωνισμό του μαθηματικού περιοδικού «Mathematical Intelligence», ανάμεσα σε 24 άλλες εξισώσεις που είχαν προταθεί.

 

 

 

error: Το περιεχόμενο προστατεύεται!