Ο αριθμός e – Λογική και Μαθηματικά

Ανάμεσα στους άπειρους αριθμούς που συναντάμε, υπάρχουν και κάποιοι που δεν είναι απλώς σύμβολα με ποσοτική σημασία, αλλά έχουν επί πλέον και ένα βαθύτερο νόημα, έχουν μια αυξημένη επιστημονική βαρύτητα. Τέτοιοι είναι π.χ. οι αριθμοί «0» – μηδέν, «1» – ένα, «π», «i» – γιώτ, «e». Αυτούς τους αριθμούς θα συμφωνήσουμε να τους αποκαλούμε σημαντικούς αριθμούς.

Εξέχουσα θέση ανάμεσα στους σημαντικούς αριθμούς κατέχει ο αριθμός e.

Αποκαλούμενος μερικές φορές ως αριθμός Euler (από τον Ελβετό μαθηματικό Leonhard Euler) και το σύμβολο «e» λέγεται πως έχει διατηρηθεί προς τιμήν του ενώ κατ’ άλλους είναι το πρώτο γράμμα της λέξης exponential που επίσης οφείλεται στον Euler και έχει να κάνει με την εκθετική συνάρτηση (βλ. πιο κάτω). Ο Euler είναι ο πρώτος που χρησιμοποίησε το σύμβολο «e» το 1728 ενώ η πρώτη του αναφορά είναι σε επιστολή προς τον Christian Goldbach το 1731.

Ο αριθμός e είναι επίσης γνωστός ως σταθερά του Napier, καθόσον αποτελεί την βάση των φυσικών (ή Νεπέρειων) λογαρίθμων. Ο John Napier αναφέρθηκε σε μια λίστα λογαρίθμων που υπολογίζονταν με τη βοήθεια «μιας σταθεράς» σε δημοσίευσή του το 1618. Η πρώτη γνωστή αναφορά και χρήση της εν λόγω, σταθεράς, με το συμβολισμό «b», ήταν από τους Gottfried Leibniz και Christiaan Huygens το 1690 και το 1691.

Ωστόσο ο e προσδιορίστηκε από τον επίσης Ελβετό μαθηματικό Jacob Bernoulli όταν μελετούσε τους σύνθετους τόκους .

Ένα κεφάλαιο Κ τοκίζεται με επιτόκιο 100% το χρόνο άρα σε ένα χρόνο το κεφάλαιο θα έχει γίνει ${\color{Brown}K_{1}=K+\frac{100}{100}\cdot K=K\cdot 2}$ .
Άρα αν τοκιστεί για ένα εξάμηνο και ανατοκιστεί, σε ένα χρόνο θα γίνει: ${\color{Brown}K_{2}=K+\frac{1}{2}\cdot K+\frac{1}{2}\cdot \left ( K+\frac{1}{2}\cdot K \right )=\left ( K+\frac{1}{2}\cdot K \right )\cdot \left ( 1+\frac{1}{2} \right )=K\cdot \left ( 1+\frac{1}{2} \right )^{2} =K\cdot 2,25}$

Ομοίως για 3 τετράμηνα θα έχουμε: ${\color{Brown} K_{3}=K\cdot \left ( 1+\frac{1}{3} \right )^{3}=K\cdot 2,3703525...}$ …

Για ανατοκισμό του κεφαλαίου:

Για 4 τρίμηνα θα έχουμε ${\color{Brown} K_{4}=K\cdot \left ( 1+\frac{1}{4} \right )^{4}=K\cdot 2,44140625}$ …

Μηνιαίο ${\color{Brown} K_{12}=K\cdot \left ( 1+\frac{1}{12} \right )^{12}=K\cdot 2,6130352902247...}$

Εβδομαδιαίο ${\color{Brown} K_{52}=K\cdot \left ( 1+\frac{1}{52} \right )^{52}=K\cdot 2,6925969544372...}$

Ημερήσιο ${\color{Brown} K_{365}=K\cdot \left ( 1+\frac{1}{365} \right )^{365}=K\cdot 2,7145674822022...}$

Ο Bernoulli παρατήρησε ότι αυτή η αλληλουχία (ακολουθία) όσο μεγαλώνει το ν, πλησιάζει σε κάποιο όριο που είναι πολλαπλάσιο του κεφαλαίου με συντελεστή που βρίσκεται ανάμεσα στο 2,7 και το 2,8. Το όριο του συντελεστή καθώς το ν μεγαλώνει είναι ο αριθμός που έγινε γνωστός ως e.

Άρα ${\color{Blue} e=\lim_{\nu \rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{\nu } \right )^{\nu }\approx 2,71828...}$

Ο αριθμός e είναι εξέχουσας σημασίας στα μαθηματικά, είναι υπερβατικός άρρητος αριθμός, δηλαδή έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία που δεν εμφανίζονται με περιοδικότητα και είναι αδύνατο να είναι ρίζα ενός μη σταθερού πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές.

Το ότι ο πραγματικός αριθμός e είναι άρρητος απεδείχθη από τον Euler, ενώ από το θεώρημα Lindemann -Weierstrass, προέκυψε πως το e είναι υπερβατικός. Μάλιστα ήταν ο πρώτος αριθμός που αποδείχθηκε (από τον Charles Hermite το 1873) ότι είναι υπερβατικός (χωρίς να έχει κατασκευαστεί ειδικά για αυτό το σκοπό, όπως ο αριθμός Liouville). Μέχρι σήμερα το ερώτημα αν ο αριθμός ${\color{Blue} e^{e}}$ είναι υπερβατικός, δεν έχει απαντηθεί! Το βέβαιο είναι ότι τουλάχιστον ο ένας από τους αριθμούς $\large {\color{Blue} e^{e}}$ ή $\large e^{e^{e^{2}}}$ είναι υπερβατικός.

Τα 50 πρώτα δεκαδικά ψηφία του e είναι

e = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995…

Για να αντιληφθεί κανείς τη σπουδαιότητα του αριθμού e πρέπει να γνωρίσει και να μελετήσει την εκθετική συνάρτηση ${\color{Blue} f\left ( x \right )= e^{x}/\mathbb{R}}$ . Η συνάρτηση αυτή έχει την εξαιρετική ιδιότητα να είναι ίση με την παράγωγο της. (Ενώ οι συναρτήσεις $\large {\color{Blue} g\left ( x \right )=a^{x},\, a\neq e}$ δεν έχουν την ιδιότητα αυτή.) Αυτό σημαίνει ότι η f είναι η μοναδική συνάρτηση που είναι ίση με την πρώτη και με τη δεύτερη, την τρίτη κ.τ.λ τη ν-οστή παράγωγό της. Ιδιότητα πολύ χρήσιμη σε πολλές εφαρμογές καθώς και στο «χτίσιμο» πολύπλοκων μοντέλων.

Αν λοιπόν θεωρήσουμε ${\color{Blue} f\left ( x \right )= e^{x}/\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}_{+}^{*}}$ και θέσουμε ${\color{Blue} y=f\left ( x \right )}$ τότε θα έχουμε ${\color{Blue} y=e^{x}\Leftrightarrow x=\ln y,\; y\in \mathbb{R}_{+}^{*}}$ και με τον τρόπο αυτό ορίζεται ο Νεπέρειος (φυσικός) λογάριθμος. Ο όρος φυσικός λογάριθμος πρέπει να μας προϊδεάζει για την παρουσία τόσο του λογαρίθμου αυτού όσο και της εκθετικής συνάρτησης, στη μελέτη διάφορων φυσικών μεγεθών.

Πάντως πρέπει να γίνει κατανοητό ότι την εποχή εκείνη ο λογάριθμος δεν εθεωρείτο συνάρτηση αλλά βοηθητικός αριθμός για διευκόλυνση των υπολογισμών.

Προφανώς θα ισχύουν: ${\color{Blue} \ln e=1}$ και ${\color{Blue} e^{\ln \alpha }=\alpha }$

O Euler επίσης απέδειξε ότι ισχύει $\large {\color{Blue} e=\sum_{\nu =0}^{\infty }\frac{1}{\nu !}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...}$ και προσδιόρισε τα πρώτα 18 δεκαδικά ψηφία του.
Εξ άλλου ο Huygens ήταν εκείνος που παρατήρησε (το 1661) μια σημαντική σχέση μεταξύ του e και της παραβολής ${\color{Blue} x\cdot y=1}$ , δηλαδή ότι το εμβαδό του χωρίου $\large {\color{Blue} E=\int_{1}^{m}\frac{1}{x}dx=1\Leftrightarrow m\equiv e}$

Πράγματι με τις σημερινές γνώσεις έχουμε $\large {\color{Blue} \int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=\left [ \ln x \right ]_{1}^{e}=\ln e-\ln 1=1-0=1}$ . Η παρατήρηση αυτή καθιστά τον Νεπέρειο λογάριθμο (ln) άξιο του ονόματος φυσικός λογάριθμος.

Κλείνοντας, φαντάζεστε άραγε ποια είναι η μέγιστη τιμή της παράστασης $\large {\color{Blue} \sqrt[x]{x}}$ ; Είναι η τιμή $\large {\color{Blue} \sqrt[e]{e}}$ . (Steiner)