Μια από τις πιο βασικές έννοιες των μαθηματικών είναι η έννοια του λόγου. Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν (εσφαλμένα [*]) ότι όλος ο κόσμος στηρίζεται και εκφράζεται με λόγους και αναλογίες.
Ένας κλάδος των μαθηματικών ο οποίος στηρίζεται στην μελέτη λόγων είναι η Στατιστική.
Τα αποτελέσματα μιας στατιστικής έρευνας καλό είναι να χρησιμοποιούνται με πολλή προσοχή και με απόλυτη γνώση των στατιστικών κανόνων, διότι αλλιώς ελλοχεύει ο κίνδυνος να μας παραπλανήσουν σε λάθος συμπεράσματα. Δυστυχώς συντρέχουν δύο γεγονότα που αποδεικνύουν την κακή χρήση της στατιστικής:
Η χρήση δημοσκοπήσεων αμφίβολης αξιοπιστίας, από ΜΜΕ ή πολιτικές ομάδες, προκειμένου να πείσουν για την ορθότητα της πολιτικής τους. Π.χ.
- Πολλά τηλεοπτικά κανάλια ρυθμίζουν το τηλεοπτικό πρόγραμμά τους με βάση την τηλεθέαση (στατιστική) που προσδιορίζεται από πολύ μικρό αριθμό ειδικών μηχανών που έχουν εγκατασταθεί σε ισάριθμο (;) δείγμα τηλεθεατών, που κανένας δεν ξέρει πως έχουν επιλεγεί και που βρίσκονται. Έτσι μας σερβίρουν ολοένα και «φθηνότερα» προγράμματα.
- Οι δημοσκοπήσεις που γίνονται κατά παραγγελία ενός κόμματος, είναι πάντοτε υπέρ του κόμματος που έκανε την παραγγελία.
- Το κατά κεφαλήν εισόδημα στη Βραζιλία είναι από τα υψηλότερα στον κόσμο. Όμως το μεγαλύτερο μέρος του πληθυσμού ζει κάτω από το όριο της φτώχιας.
2. Η απλοϊκότητα των βασικών στατιστικών δεικτών, ευνοεί τους ημιμαθείς, που άθελά τους παγιδεύονται σε λάθος εκτιμήσεις.
- Εγώ κι ο γείτονάς μου τρώμε κάθε μέρα 1 κοτόπουλο. Στην πραγματικότητα εγώ τρώω το κοτόπουλο κι ο γείτονάς μου πεινάει.
- Ο μέσος μισθός στην εταιρεία Χ είναι 1000€, άρα η εταιρεία πληρώνει καλά τους υπαλλήλους της. Στην πραγματικότητα το 90% των υπαλλήλων έχει μισθό 400€ και εργάζεται 12 ώρες ημερησίως και το υπόλοιπο 10% των υπαλλήλων απολαμβάνουν μισθό άνω των 5000€.
- Όλοι οι υπάλληλοι της εταιρείας Υ έχουν μισθό 1000€. Επομένως ο μέσος μισθός είναι 1000€, είναι όμως σαφέστατα πιο καλοπληρώτρια από την Χ. Πως φαίνεται η διαφορά τους αν εκτιμήσουμε μόνο τον μέσο μισθό;
Όμως ας πάρουμε τα πράματα από την αρχή.
Η Στατιστική είναι ο κλάδος εκείνος των μαθηματικών, που μελετά ένα σύνολο (πληθυσμό) ως προς μια ιδιότητα των στοιχείων (ατόμων) του. Για παράδειγμα το σύνολο {1,2,3,4,5,6,7,8,9} περιέχει 4 άρτιους αριθμούς {2,4,6,8}, περιέχει 5 περιττούς αριθμούς {1,3,5,7,9}, περιέχει 5 πρώτους αριθμούς{1,2,3,5,7}, περιέχει 4 σύνθετους {4,6,8,9}. Μπορούμε να πούμε ότι στο πιο πάνω σύνολο:
- Η συχνότητα των άρτιων είναι 4 και η σχετική συχνότητα τους είναι 4/9 (≈44,44%) .
- Η συχνότητα των περιττών είναι 5 και η σχετική συχνότητα τους είναι 5/9 (≈55,55%).
- Η συχνότητα των πρώτων αριθμών είναι 5 και η σχετική συχνότητα του είναι 5/9 (≈55,55%).
- Η συχνότητα των σύνθετων είναι 4 και η σχετική συχνότητα τους είναι 4/9 (≈44,44%).
Αυτές οι συχνότητες και οι σχετικές συχνότητες μπορούν να βρεθούν είτε με απογραφή, όταν ο πληθυσμός είναι πεπερασμένος (οπότε έχουμε τέλεια επαγωγική διαδικασία) είτε με δειγματοληψία, όταν ο πληθυσμός είναι απειροσύνολο (οπότε η διαδικασία είναι απλή επαγωγική).
Τα προηγούμενα ποσοστά είναι αποτέλεσμα απογραφής, επομένως είναι αδιαμφισβήτητα. Αν όμως προσπαθήσουμε να εξάγουμε οποιοδήποτε συμπέρασμα με τη βοήθειά τους πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί.
Ας υποθέσουμε ότι έχετε ένα ζάρι και το ρίχνετε 6 φορές και διαπιστώνετε ότι και τις 6 έρχεται η ένδειξη (4). Ποιο συμπέρασμα θα βγάλετε; Το πιο πιθανό είναι να σκεφτείτε ότι το ζάρι είναι «ελαττωματικό». Θα μπορούσατε, μήπως, να αποδείξετε αυτό τον ισχυρισμό;
Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή. Ας υποθέσουμε πως έχουμε ένα κανονικό ζάρι, με έξι έδρες και κάνουμε διαρκώς ρίψεις. Αν κάνουμε μια στατιστική καταγραφή, σημειώνοντας τα αποτελέσματα που έρχονται (διαλογή) και υπολογίζοντας μετά κάθε ρίψη τους λόγους – σχετικές συχνότητες Ν(τ)/Ν, όπου Ν(τ) είναι το πλήθος που εμφανίστηκε η ένδειξη τ (τ=1,2,3,4,5,6) και Ν είναι ο συνολικός αριθμός ρίψεων.
Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία των ρίψεων και των υπολογισμών πάρα πολλές φορές (1000 – 2000 – 3000 – … φορές) και παρατηρούμε ότι κάθε ένας από τους λόγους Ν(τ)/Ν πλησιάζει (τείνει) προς τον αριθμό 1/6. Εύλογο είναι να συμπεράνουμε ότι το ζάρι αυτό είναι «αμερόληπτο».
Αυτό το στατιστικό αποτέλεσμα σημαίνει ότι κάθε φορά που θα ρίχνουμε το ζάρι αυτό η πιθανότητα να έρθει π.χ. η ένδειξη (4) είναι 1/6. Και αυτό είναι ένα πολύ λογικό συμπέρασμα.
Αν προχωρήσουμε στα συμπεράσματά μας και σκεφτούμε το ενδεχόμενο, «Αν ρίξουμε 6 φορές το ζάρι να έρθουν όλες οι ενδείξεις (1)-(2)-(3)-(4)-(5)-(6), από μία φορά η κάθε μια», τότε είναι πιθανό να σκεφτούμε ότι το ενδεχόμενο αυτό είναι πιο «λογικό» από το προηγούμενο (όλες 4).
Με μια δεύτερη, πιο αυστηρή σκέψη, θα καταλάβουμε ότι έχουμε περιπέσει σε λογική πλάνη. Πρέπει να έχουμε πάντα υπόψη μας ότι σε κάθε ρίψη όλες οι ενδείξεις είναι ισοπίθανες.
Ας προσπαθήσουμε τώρα να δούμε ποια είναι η πιθανότητα, με έξι ρίψεις να έχουμε τις ενδείξεις (4),(4),(4),(4),(4) και (4).
- Η 1η ρίψη είναι αποδεκτή όποια ένδειξη και έρθει. Πιθανότητα 6/6.
- Η 2η ρίψη πρέπει να φέρει ένδειξη ίδια με την προηγούμενη. Άρα η πιθανότητα να είναι αποδεκτή είναι 1/6.
- Η 3η ρίψη πρέπει να φέρει ένδειξη ίδια με τις δύο προηγούμενες. Άρα η πιθανότητα να είναι ευνοϊκή είναι 1/6.
- Η 4η ρίψη, με όμοιο τρόπο, θα έχει πιθανότητα 1/6 να είναι ευνοϊκή.
- Η 5η ρίψη θα έχει πιθανότητα 1/6 να είναι ευνοϊκή και
- Η 6η ρίψη θα έχει πιθανότητα 1/6.
Άρα η πιθανότητα να έρθει η εξάδα με έξι όμοιες ενδείξεις είναι
0,012860082304… %. Παρατηρούμε ότι αυτή η πιθανότητα αυτή είναι μεν πολύ μικρή αλλά δεν είναι μηδενική, άρα το ενδεχόμενο αυτό δεν είναι αδύνατο.
Ας δούμε τώρα το ενδεχόμενο οι 6 ρίψεις να φέρουν τις ενδείξεις (1),(2),(3),(4),(5),(6) με τυχαία σειρά.
- Η 1η ρίψη είναι αποδεκτή όποια ένδειξη και έρθει. Πιθανότητα 6/6.
- Η 2η ρίψη πρέπει να φέρει ένδειξη διαφορετική από την προηγούμενη. Άρα η πιθανότητα να είναι αποδεκτή είναι 5/6.
- Η 3η ρίψη πρέπει να φέρει ένδειξη διαφορετική από τις δύο προηγούμενες. Άρα η πιθανότητα να είναι ευνοϊκή είναι 4/6.
- Η 4η ρίψη, με όμοιο τρόπο, θα έχει πιθανότητα 3/6 να είναι ευνοϊκή.
- Η 5η ρίψη θα έχει πιθανότητα 2/6 να είναι ευνοϊκή και
- Η 6η ρίψη θα έχει πιθανότητα 1/6.
Άρα η πιθανότητα να έρθει η εξάδα με έξι διαφορετικές ενδείξεις είναι
1,543209876…%. Παρατηρούμε ότι η και αυτή η πιθανότητα δεν είναι μηδενική, άρα και το ενδεχόμενο αυτό δεν είναι αδύνατο. Μπορεί να συμβεί και μάλιστα μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι είναι 119 φορές πιο πιθανό από το προηγούμενο!
