1. Γενικά
Η έννοια του μηδενός, είναι σήμερα, σχεδόν αυτονόητη όμως δεν ήταν πάντοτε έτσι. Κατά το μεγαλύτερο μέρος της ιστορίας, οι άνθρωποι δεν αντιλαμβάνονταν τον αριθμό μηδέν. Δεν είναι έννοια έμφυτη στον άνθρωπο. Έπρεπε να την επινοήσουμε και να την διδάσκουμε από γενιά σε γενιά.
Είναι γεγονός ότι, η άγνοια της ύπαρξης του μηδενός, βρίσκεται σε πλήρη και προφανή αντίθεση τόσο με τα κατασκευαστικά όσο και με τα φιλοσοφικά επιτεύγματα μεγάλων πολιτισμών της αρχαιότητας, όπως του ελληνικού ή του ρωμαϊκού πολιτισμού.
Για να γίνει κατανοητή αυτή η αντίφαση αρκεί να σκεφτούμε λίγο την προσωπική μας γνωριμία με την έννοια του αριθμού μηδέν.
Όταν μικροί μαθαίναμε να μετράμε ξεκινούσαμε πάντοτε από το ένα, δύο τρία, τέσσερα… και συνεχίζαμε. Το μηδέν ήταν «ανύπαρκτο»!! Δεν υπάρχει πουθενά στη φύση φανερή εικόνα του μηδενός, ώστε να γίνει εύκολα κατανοητή η έννοιά του.
Για τον ίδιο ακριβώς λόγο, οι άνθρωποι άργησαν να ανακαλύψουν το μηδέν. Ο βασικός λόγος ήταν ότι οι μαθηματικές έννοιες αποκαλύπτονταν διαισθητικά ενώ, όπως είπαμε, το μηδέν δεν έχει διαισθητική αποτύπωση.
Γενικά μία ποσότητα «αντικειμένων», για παράδειγμα τρία μήλα ή τρία κουδουνίσματα, είναι διανοητικά κατανοητή σε όλους. Όμως η ταύτιση της ποσότητας αυτής με ένα αφηρημένο αριθμό, εδώ το 3, δεν είναι εύκολη υπόθεση. Είναι ήδη γνωστό ότι το ερώτημα «τι είναι αριθμός;» δύσκολα μπορεί να απαντηθεί. Φανταστείτε λοιπόν την περίπτωση του «αριθμού» μηδέν, που η πιο απλή διαισθητική αντίληψη του είναι το τίποτα. Ωστόσο, το μηδέν δεν χρειάζεται να υπάρχει στη φύση για να είναι χρήσιμο.
Η γνωριμία του καθενός μας με το μηδέν, ήρθε αργότερα, όταν μαθαίναμε τις αλληλο-επιδράσεις των αριθμών με την πράξη της πρόσθεσης – αφαίρεσης. Τότε εμφανίστηκε ένας «αόρατος» προσθετέος. Ένας αριθμός μοναχικός, ένας αριθμός ανίκανος να επηρεάσει οποιοδήποτε άθροισμα ή διαφορά, ένας «αδιάφορος» αριθμός, ένα μηδενικό! Τότε, γνωρίσαμε τον αριθμό που «ήταν και δεν ήταν» αριθμός.
Λίγο αργότερα, μαθαίνοντας την πράξη του πολλαπλασιασμού, είδαμε ότι ο μοναχικός και αδιάφορος μηδέν, μεταμορφώνεται σε «μαύρη τρύπα», σε παράγοντα «ρουφήχτρα» που εξαφανίζει το γινόμενο στο οποίο είναι παράγων. Στη συνέχεια, αρκετά αργότερα, καταλάβαμε ότι η συμπεριφορά του μηδενός στη διαίρεση είναι αλλοπρόσαλλη… Δεν ταιριάζει με κανέναν αριθμό σαν διαιρέτης. Ενώ σαν διαιρετέος δεν… σηκώνει και πολλά – πολλά.
Μπορεί να ακούγεται παράξενο αλλά η ανακάλυψη του μηδενός άλλαξε πλήρως τα δεδομένα. Είναι αδιαμφισβήτητα μια από τις μεγαλύτερες ανακαλύψεις της μαθηματικής επιστήμης και όπως κάθε τέτοια, άλλαξε τον ρου της ιστορίας συντελώντας στην πρόοδο και την εξέλιξη των ανθρώπων, κάτι ισοδύναμο με το να «μάθουμε να μιλάμε!»[1]
Οι Σουμέριοι ήταν ο πρώτος λαός που διεξήγαγε μαθηματικές πράξεις και ακολούθησαν οι Βαβυλώνιοι. Η επινόηση και χρήση κάποιας μορφής του μηδενός, με ατελές εννοιολογικό περιεχόμενο, αποδίδεται στους Σουμέριους.
Στον αρχαίο ελληνικό πολιτισμό τα μαθηματικά αναπτύχθηκαν κυρίως με τη γεωμετρία, αυτή που ξέρουμε σήμερα με τον όρο Ευκλείδεια Γεωμετρία, άρα απέκτησαν ένα πιο πρακτικό χαρακτήρα. Είναι λοιπόν αυτονόητο πως η έννοια του μηδενός ήταν ασυμβίβαστη με τον χαρακτήρα των μαθηματικών του Ευκλείδη. Πρέπει όμως, παρόλα αυτά, να τονιστεί πως οι αστρονόμοι τις αρχαίας Ελλάδας χρησιμοποιούσαν μια μορφή, που ήταν δηλωτική μιας κενής θέσης. Άλλωστε: μηδέν = «μηδέ εν» = «Ούτε ένα»
Το αρχαιότερο εύρημα από το οποίο μπορούμε να συμπεράνουμε τη σύλληψη της έννοιας του μηδενός αποδίδεται στους Ινδούς και τοποθετείται γύρω στο 876 π.Χ. Στην Ινδία το μηδέν απέκτησε τη σύγχρονη έννοια του ως δηλωτικό θέσης[2] αλλά και ως αριθμός[3]. Σε αυτό συνετέλεσε το περιβάλλον, φιλοσοφικό και πολιτισμικό, που αποδείχθηκε πρόσφορο.
Από την Ινδία η έννοια του μηδενός πέρασε στον Αραβικό κόσμο και από εκεί διαδόθηκε στην Ευρώπη.
Χωρίς το μηδέν, μεγάλο μέρος του σύγχρονου κόσμου μας κυριολεκτικά θα κατέρρεε! Φανταστείτε το μαθηματικό λογισμό, την επιστήμη, τη σύγχρονη τεχνολογία (μηχανική, Η/Υ, αυτοματισμοί)… Χωρίς το μηδέν.
2. Τι είναι το μηδέν.
Η έννοια του μηδενός είναι τέτοια ώστε να μπορεί να χρησιμοποιείται με τρεις διαφορετικούς τρόπους:
α) Το μηδέν ως δηλωτικό θέσης.
Το σύμβολο «0» χρησιμοποιείται στο συμβολισμό των αριθμητικών μεγεθών με αριθμητικά ψηφία. Για παράδειγμα στο γνωστό μας δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, ο αριθμός «12» παριστάνει την ποσότητα «δώδεκα». Αν τώρα γράψουμε:
- 012 εννοούμε πάλι την ποσότητα «δώδεκα».
- 102 εννοούμε την ποσότητα «εκατόν δύο».
- 120 εννοούμε την ποσότητα «εκατόν είκοσι».
Παρατηρούμε δηλαδή ότι ο «αμελητέος» μηδέν έχει μεγάλη βαρύτητα, διότι προσδιορίζει την πραγματική αξία των σημαντικών ψηφίων 1 και 2, η οποία εξαρτάται από την σχετική τους θέση.
Όσο κι αν αυτό σας φαίνεται αυτονόητο, σας υπενθυμίζω ότι ούτε οι αρχαίοι Έλληνες ούτε οι Ρωμαίοι δεν είχαν σκεφτεί κάτι τέτοιο, μέχρι τον 2ο αι. μ.Χ.
Οι Άραβες στη θέση του «0» χρησιμοποιούσαν για το σκοπό αυτό την κουκίδα «۰»
| Αριθμός | Ελληνική γραφή | Ρωμαϊκή γραφή | Αραβική γραφή |
| 12 | ιβ’ ή ΙΒ’ | ΧΙΙ | ۱۲ |
| 102 | ρβ’ ή ΡΒ | CII | ۱۰۲ |
| 120 | ρκ’ ή ΡΚ’ | CXX | ۱۲۰ |
Θα τολμούσατε άραγε να κάνετε μια απλή πρόσθεση, ας πούμε τριψήφιων αριθμών, με την ελληνική ή τη ρωμαϊκή τους γραφή; Είναι προφανές ότι οι πράξεις έγιναν δυνατές με το αραβικό σύστημα που είναι «θεσιακό».
Το 130 μ.Χ. ο Πτολεμαίος, επηρεασμένος από τους Βαβυλώνιους χρησιμοποίησε το σύμβολο «ō», ως δηλωτικό θέσης, αλλά και μόνο του ως δηλωτικό του τίποτα. Κατά μία εικασία το σύμβολο αυτό προήλθε από το πρώτο γράμμα της λέξης «ουδέν». Η επιγράμμιση χρησιμοποιήθηκε για να το αντιδιαστείλει από το ο’ που σημαίνει τον αριθμό 70.
β) Το μηδέν ως αριθμός.
Ο αριθμός 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης. Δηλαδή δεν μεταβάλλει οποιονδήποτε αριθμό, αν προστεθεί σ’αυτόν.
Αποτέλεσμα της ιδιότητας αυτής είναι το 0 να βρίσκεται μεταξύ των −1 και 1 και μάλιστα σε ίσες αποστάσεις από αυτούς. Ακόμα το 0 είναι μικρότερο από οποιονδήποτε θετικό αριθμό και μεγαλύτερο από οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό.
Η ιδιαιτερότητα του «αριθμού» 0 γίνεται ολοφάνερη μόλις δοκιμάσουμε τις πράξεις του πολλαπλασιασμού ή της διαίρεσης. Για παράδειγμα:
Ι. x·0 = 0·x = 0, Το μηδέν είναι απορροφητικό στοιχείο του πολλαπλασιασμού.
II. 0/x = 0, για οποιονδήποτε μη μηδενικό αριθμό x.
III. x/0=; (x οποιονδήποτε μη μηδενικό αριθμό). Αν υποθέσουμε ότι το πηλίκο αυτό είναι ίσο με α, τότε θα πρέπει 0·α = x δηλαδή πρέπει x=0 που είναι άτοπο. Άρα η διαίρεση μη μηδενικού αριθμού δια μηδέν είναι αδύνατη.
IV. 0/0 = ; Αν υποθέσουμε ότι το πηλίκο αυτό είναι α, τότε θα είναι 0·α = 0, που είναι αληθής για οποιαδήποτε τιμή του α. Άρα το πηλίκο 0/0 είναι απροσδιόριστο.
γ) Το μηδέν ως δηλωτικό του «τίποτα».
Το 0 είναι ο πληθικός αριθμός του κενού συνόλου. Πρακτικά παριστάνει το πλήθος των περιεχομένων ενός άδειου κουτιού. Στο σημείο αυτό πρέπει να δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή: Το 0 παριστάνει το περιεχόμενο του άδειου κουτιού και όχι το κουτί! Το κουτί παριστάνεται (σαν ποσότητα) από τον αριθμό 1.
Όσο κι αν ακούγεται περίεργο το «τίποτα» δίνει «περιεχόμενο» στο «κάτι».
3. Το μηδέν και το άπειρο.
Ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός, Εύδοξος (408−355 π.Χ.), χρησιμοποίησε για τον υπολογισμό επιφανειών και όγκων μια μέθοδο, την οποία ανέπτυξε περαιτέρω ο Αρχιμήδης (περ. 287-212 π.Χ.), τη μέθοδο της εξαντλήσεως. Η μέθοδος αυτή ήταν η πρώτη που έθεσε στοιχειωδώς την έννοια του ορίου.
Τον 14 αι μ.Χ. αναπτύχθηκε ο κλάδος των Μαθηματικών που μελετά τις συγκλίσεις και τα όρια, γνωστός σαν Λογισμός. Βαρύνουσα σημασία στον Λογισμό έχει το μηδέν, αφού μελετά τη μεταβολή κάποιας ποσότητας που εξαρτάται από μεταβλητή η οποία συγκλίνει στο 0.
Στην ενότητα 2.β.iii είδαμε πως η διαίρεση μη μηδενικού αριθμού με 0 είναι αδύνατη. Ας θεωρήσουμε την ποσότητα y = α/x με x>0 και α ένας σταθερός αριθμός π.χ. α = 5 . Αν θεωρήσουμε ότι το x διαρκώς μικραίνει πλησιάζοντας στο 0. Τότε η ποσότητα y γίνεται διαρκώς μεγαλύτερη, ασύλληπτα μεγάλη, άραγε πόσο μεγάλη; Δηλαδή παρατηρούμε ότι x → 0 έχει σαν αποτέλεσμα y → +∞ , που μας δείχνει με ποιο τρόπο η έννοια του μηδενός μας οδηγεί στην έννοια του απείρου!
Το μηδέν λοιπόν μας βοηθά να κατανοήσουμε το επίσης αφηρημένο (αλλά ταυτόχρονα υπαρκτό) άπειρο.
«Όλες οι άπειρες διαδικασίες (στα μαθηματικά) περιστρέφονται γύρω από την έννοια του μηδενός»[4]
Περισσότερα για το άπειρο και τις πράξεις μ’αυτό στο λήμμα «Άπειρο – Απειροστό – Όριο»
4. Είναι το μηδέν μια βαθυστόχαστη ιδέα;
Στο σημείο αυτό και με βάση όσα έχουν προαναφερθεί, είναι προφανές ότι το μηδέν είναι σημαντικός δομικός λίθος του πολιτισμού μας, που ο ανθρώπινος νους έκανε αγώνα για να ανακαλύψει, να κατανοήσει, να ορίσει.
Επι πλέον, δεν γεννιόμαστε με έμφυτη την κατανόηση του μηδενός. Πρέπει να το μάθουμε και αυτό απαιτεί χρόνο, κόπο, ωριμότητα και ικανότητα. Αν ανατρέξετε στο διαδίκτυο, εκτός από σωστές πληροφορίες, θα βρείτε πολλούς προβληματισμούς για το μηδέν, αλλά και πολλές πλάνες.
Εκφράσεις που αφορούν στο μηδέν, όπως:
- «Το μηδέν βρίσκεται στο μυαλό, όχι όμως στον αισθητηριακό κόσμο»
- «Είναι το τίποτα που υπάρχει»
- «Το μηδέν είναι ο μακρινός ορίζοντας που βλέπουμε στους πίνακες ζωγραφικής»,
- «Αν κοιτάξεις το μηδέν δεν βλέπεις τίποτα. Αλλά αν κοιτάξεις μέσα από το μηδέν, βλέπεις τον κόσμο. Είναι ο ορίζοντας.»
έχουν γίνει αφορμή για διάφορους φιλοσοφικούς και ποιητικούς στοχασμούς.
Όταν αρχίσετε τους δικούς σας στοχασμούς θα πρέπει να θυμάστε ότι, τελικά:
Το μηδέν είναι ένα αριθμητικό σύμβολο που παριστάνει την έννοια του τίποτα. Το τίποτα δεν υπάρχει πουθενά.[5]
[1] λέει ο Andreas Nieder, γνωσιακός επιστήμονας στο Πανεπιστήμιο του Tübingen της Γερμανίας.
[2] Βλέπε παράγραφο 2.α.
[3] Βλέπε παράγραφο 2.β.
[4] Robert Kaplan (Μαθηματικός και συγγραφέας του «Το υπαρκτό τίποτα»)
[5] Ακόμα και το «κενό» της φυσικής περιέχει ελάχιστα μόρια. Το ίδιο και το κενό του μεσοδιαστήματος μεταξύ των αστέρων.