Στη θεμελίωση των συνόλων προσπαθήσαμε να δώσουμε έναν ορισμό στην πρωταρχική έννοια του συνόλου λέγοντας:
Δεχόμαστε ότι έχουμε το δικαίωμα ένα ή περισσότερα αντικείμενα σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα μεταξύ τους (που θα τα συμβολίζουμε με τα πεζά γράμματα α,β,γ,δ,…και θα τα λέμε στοιχεία) να τα θεωρούμε σαν ένα αντικείμενο που θα το λέμε σύνολο (με στοιχεία τα α,β,γ,δ,….. και θα το συμβολίζουμε με ένα από τα κεφαλαία γράμματα Α,Β,Γ,Δ, κ.λ.π.).
Ο ορισμός αυτός μας δίνει το δικαίωμα να θεωρήσουμε όλα τα σύνολα που υπάρχουν και να ορίσουμε το σύνολο Ω δηλαδή το σύνολο όλων των συνόλων, το Ω={Χ/Χ : σύνολο}.
Ωστόσο με τον τρόπο αυτό βρισκόμαστε μπροστά στο παράδοξο, το Ω να πρέπει να περιέχει τον εαυτό του σαν στοιχείο.
Ο Bertrand Russell περιέγραψε το πιο πάνω παράδοξο με ένα πιο κατανοητό και γλαφυρό παράδειγμα: «Σε μια χώρα που όλοι οι άντρες είναι καθημερινά ξυρισμένοι, υπάρχει μόνο ένας κουρέας. Ο κουρέας ξυρίζει μόνο όποιον δεν ξυρίζεται μόνος του. Άραγε ποιος ξυρίζει τον κουρέα;»
Δηλαδή ο κουρέας σαν κάτοικος της χώρας αυτής που ξυρίζεται καθημερινά μόνος του, δεν θα ξυρίζεται από τον κουρέα!!!
Το παράδοξο στη Θεωρία των συνόλων έχει και προεκτάσεις. Παρατηρήστε τις επόμενες δύο αληθείς λογικές προτάσεις:
- Είναι προαφανές ότι ο πληθικός αριθμός ενός συνόλου είναι γνήσια μικρότερος από τον πληθικό αριθμό του δυναμοσυνόλου του. Επομένως θα πρέπει Ν(Ω)<Ν(D(Ω))
- Ο πληθικός αριθμός του Ω θα είναι ο μέγιστος πληθικός αριθμός συνόλου, σύμφωνα με τον ορισμό του Ω.
Είναι προφανές ότι οι δύο αληθείς λογικές προτάσεις, συγκρούονται, αφού προκύπτει ότι ο Ν(D(Ω)) είναι γνήσια μεγαλύτερος από τον μέγιστο Ν(Ω). (άτοπο).
Αυτό το δεύτερο παράδοξο αγγίζει και την έννοια του απείρου, αφού και τα δύο σύνολα Ω και Ν(Ω) είναι απειροσύνολα. Με το άπειρο θα ασχοληθούμε σε άλλα άρθρα.
Οι ανακολουθίες αυτές «τακτοποιούνται» αν περιορίσουμε τη δυνατότητά μας να παράγουμε σύνολα (όπως ορίζει ο «ορισμός»). Παραδεχόμαστε δηλαδή ότι δεν έχουμε τη δυνατότητα να ορίσουμε «το σύνολο όλων των συνόλων», ώστε να μην προκύπτουν παράδοξα. Έτσι σαν Βασικό σύνολο Ω ορίζουμε το σύνολο όλων των συνόλων πλην του εαυτού του.
Παρόλα αυτά αυτόματα δημιουργείται μια ανασφάλεια και πλανάται το ερώτημα, μήπως υπάρχουν και άλλα σημεία στη θεωρία των συνόλων που δημιουργούν παράδοξα, πράγμα αδιανόητο για τα Μαθηματικά. Έτσι είναι φανερό πόσο προσεκτικοί πρέπει να είμαστε στις λογικές ανελίξεις μας.
Εν τέλει ο κουρέας θα πρέπει να αποτελεί εξαίρεση του κανονισμού ξυρίσματος για να αρθεί το παράδοξο.