Καθημερινά δεχόμαστε πληροφορίες από το περιβάλλον, τις οποίες προσπαθούμε να ταξινομήσουμε και να βγάλουμε τα συμπεράσματά μας, ενώ παράλληλα αξιολογούμε τα συμπεράσματα των άλλων. Το πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε στην περίπτωση αυτή είναι ότι θα πρέπει οι συλλογισμοί μας να είναι έγκυροι ώστε να είμαστε βέβαιοι για την ορθότητα των συμπερασμάτων μας.
Παραδείγματος χάριν ο συλλογισμός: «Σήμερα είναι αργία επομένως δεν θα περάσει ο ταχυδρόμος» είναι έγκυρος. Αφού το συμπέρασμα βασίζεται σε γενικό κανόνα που είναι γνωστός.
Ο συλλογισμός: «Σήμερα δεν πέρασε ο ταχυδρόμος, επομένως είναι αργία» είναι άκυρος. Εδώ το συμπέρασμα είναι αυθαίρετο, διότι είναι δυνατόν ο ταχυδρόμος να είναι άρρωστος ή να μην περνάει όλες τις εργάσιμες ημέρες. Ωστόσο τίποτα δεν αποκλείει να είναι πράγματι αργία.
Σε ότι αφορά στα δύο προηγούμενα συμπεράσματα, η διάκριση έγκυρου – άκυρου συλλογισμού είναι σχεδόν προφανής, όμως σε πιο θεωρητικά ζητήματα η διαφορά είναι δυσδιάκριτη.
Για την εξαγωγή συμπερασμάτων υπάρχουν δύο «στρατηγικές». Ο παραγωγικός συλλογισμός ή απλά παραγωγή και ο επαγωγικός συλλογισμός ή απλά επαγωγή.
Η παραγωγή (ας μη την συγχέουμε με την βιομηχανική ή βιοτεχνική ή αγροτική παραγωγή κ.τ.λ.) είναι μια διαδικασία με την οποία από το «όλον» βγάζουμε συμπέρασμα για το «μέρος».
Με άλλα λόγια αν είναι γνωστός ένας νόμος ή ένας κανόνας που αφορά στο σύνολο ενός πληθυσμού μπορούμε να βγάλουμε, με βεβαιότητα, σχετικό συμπέρασμα για το άτομο του πληθυσμού ή για έναν υποπληθυσμό ατόμων.
Παραδείγματα:
- Είναι γνωστός ο νόμος της βαρύτητας και πως όλα τα σώματα που έχουν βάρος, αν αφεθούν ελεύθερα, θα πέσουν. Άρα μπορούμε να συμπεράνουμε με την παραγωγική μέθοδο ότι αν αφήσουμε ελεύθερο ένα βιβλίο, αυτό θα πέσει στη γη.
- Έχει αποδειχτεί ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180ο. Άρα οι οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές. (Εδώ παρατηρήστε ότι το συμπέρασμά μας είναι ένας νέος νόμος.)
Τέτοιοι νόμοι ή κανόνες (θεωρήματα, αξιώματα) όπως της βαρύτητας υπάρχουν σε όλες τις επιστήμες και είναι όλοι αποτέλεσμα μακροχρόνιων προσπαθειών και επίπονης προσπάθειας αμέτρητων επιστημόνων. Βλέπετε νόμοι και κανόνες, για να χρησιμοποιηθούν δεν αρκεί κάποιος να τους διατυπώσει αλλά θα πρέπει και να τους αποδείξει με έγκυρους συλλογισμούς.
Η παραγωγική διαδικασία είναι αδιαμφισβήτητα η «απόλυτη» μέθοδος.
Τι γίνεται όμως αν δεν υπάρχει επιβεβαιωμένος γενικός κανόνας πάνω στον οποίο θα μπορούσαμε να στηριχτούμε; Τότε χρησιμοποιούμε την μέθοδο της επαγωγής με σκοπό να ανακαλύψουμε τον κανόνα.
Η επαγωγή λειτουργεί αντίστροφα από αυτή της παραγωγής, γι’ αυτό άλλωστε είναι εντελώς διαφορετική. Με τη μέθοδο αυτή, παρατηρώντας το «μέρος» προσπαθούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για το «όλον». Αυτό βεβαίως είναι εξαιρετικά «επικίνδυνο» και λογικά μη αποδεκτό. Ο συλλογισμός αυτός είναι άκυρος, με μοναδική εξαίρεση την Μαθηματική επαγωγή που προκύπτει από τα αξιώματα του Peano και αφορά μόνο στους φυσικούς αριθμούς.
Η επαγωγή μας οδηγεί σε ασφαλές συμπέρασμα μόνο αν αξιολογήσουμε όλα τα μέρη που αποτελούν το όλον. Αυτό φυσικά είναι, συνήθως, ανέφικτο
Ωστόσο δεν πρέπει να υποβαθμίσουμε την σημασία της επαγωγής, στη εξέλιξη των επιστημών. Ο ρόλος της επαγωγής είναι σημαντικότατος και έχει σκοπό να μας επιτρέψει να υποψιαστούμε ένα κανόνα που μας είναι άγνωστος. Η έρευνα και η αναζήτηση στηρίζονται στην παρατήρηση και την επαγωγή
Για παράδειγμα ο Νεύτων παρατήρησε πλήθος σωμάτων που πέφτουν ώστε επαγωγικά να καταλήξει στο συμπέρασμα που ονομάζουμε νόμο της βαρύτητας.
Από τη στιγμή που διατυπώνεται ένα συμπέρασμα, το επόμενο βήμα είναι να αποδειχθεί η καθολικότητα του νόμου, ώστε να γίνει λογικό «εργαλείο».
Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα πως η επαγωγή δεν αποδεικνύει τίποτα (πλην της Μαθηματικής επαγωγής) απλά μας δίνει ενδείξεις που πρέπει στη συνέχεια να επιβεβαιωθούν με έγκυρη αποδεικτική διαδικασία, όπως είναι η παραγωγή.
Με αυτό τον τρόπο διατυπώνονται προτάσεις από τις οποίες:
- Κάποιες αποδεικνύονται και γίνονται νόμοι (θεωρήματα) και
- Κάποιες άλλες δεν έχουν αποδειχθεί (ακόμα). Από αυτές:
- κάποιες τις δεχόμαστε σαν αληθείς (θεωρίες – αξιώματα – αιτήματα) μέχρι, ενδεχομένως, να καταρριφθούν από ένα αντιπαράδειγμα και
- Κάποιες παραμένουν σε εκκρεμότητα (εικασίες) μέχρι να αποδειχτούν ή μέχρι να φανεί ότι είναι λάθος (δεν είναι καθολικές).
Για παράδειγμα, πριν την ανακάλυψη της Ωκεανίας, είχε παρατηρηθεί επαγωγικά ότι οι κύκνοι είναι λευκοί. Έτσι διατυπώθηκε η πρόταση «Όλοι οι κύκνοι είναι λευκοί». Κανένας όμως δεν μπόρεσε να το αποδείξει. Άρα η πρόταση αυτή ήταν μία θεωρία (όχι νόμος – θεώρημα). Όταν ανακαλύφθηκε η Ωκεανία, εκεί παρατηρήθηκαν και μαύροι κύκνοι, με αποτέλεσμα να καταρρεύσει η θεωρία.
Ένα άλλο παράδειγμα με θεωρίες, που διατυπώθηκαν και στη συνέχεια καταρρίφθηκαν, είναι οι προσπάθειες ανά τους αιώνες για την ερμηνεία της φύσης και διάδοσης του φωτός. Με το θέμα αυτό θα ασχοληθούμε σε επόμενο άρθρο.
Το 1932 ο Kurt Friedrich Gödel απέδειξε ότι υπάρχουν και προτάσεις που ενώ είναι αληθείς, δεν γίνεται να αποδειχτούν (θεώρημα μη πληρότητας). Αυτό σημαίνει ότι ίσως υπάρχουν ακόμα περιοχές της λογικής μας που χρειάζονται εξέλιξη… έννοιες που ίσως ακόμα δεν έχουμε γνωρίσει…