Ο Ιππίας ο Ηλείος έζησε το δεύτερο μισό του 5ου π.Χ. αιώνα. Ήταν μαθηματικός, σοφιστής, ιστορικός των μαθηματικών και δάσκαλος της αριστοκρατίας της Αθήνας. Έμεινε στην ιστορία για τη λύση που έδωσε στο πρόβλημα της τριχοτόμησης μιας γωνίας και ιδιαίτερα για την καμπύλη που εμπνεύστηκε και χρησιμοποίησε, την τετραγωνίζουσα.
Έστω τετράγωνο ΟΑΒΓ με πλευρά α. Με κέντρο το Ο και ακτίνα το α γράφουμε το τεταρτοκύκλιο ΟΑΓ (μπλε).
Το σημείο Η κινείται από το Γ προς το Ο πάνω στην πλευρά ΓΟ και την κίνηση αυτή παρακολουθεί η ΗΘ παράλληλη στην ΟΑ.
Το σημείο Μ κινείται από το Γ προς το Α πάνω στο τεταρτοκύκλιο ΓΑ και την κίνηση αυτή παρακολουθεί η ακτίνα ΟΜ.
Η ΗΘ και η ΟΜ τέμνονται στο σημείο Ζ.
Αν τα Η και Μ ξεκινήσουν ταυτόχρονα από το Γ και κινούμενα με σταθερές ταχύτητες τερματίσουν ταυτόχρονα στο Ο και στο Α αντίστοιχα, τότε το Ζ «γράφει» την κόκκινη καμπύλη ΓΕ. Η καμπύλη αυτή είναι η τετραγωνίζουσα.
Αν κατά την χρονική στιγμή t μετά την εκκίνηση, τα Η και Μ βρίσκονται στις θέσεις που δείχνει το σχήμα, τότε θα είναι ΓΗ=v·t όπου v είναι η ταχύτητα του σημείου Η και επί πλέον η γωνία φ=υ·t όπου υ η γωνιακή ταχύτητα της ακτίνας ΟΜ.
Επομένως: και επί πλέον
Άρα από αυτές προκύπτει ότι (1) και επομένως για τον συνολικό χρόνο κίνησης Τ θα ισχύει
(2)
Από (1) και (2) προκύπτει ⇒
⇒
.
Δηλαδή αποδείχτηκε ότι τα τόξα ΑΜ και ΑΓ έχουν τον ίδιο λόγο με τα τμήματα ΟΗ και α.
Επί πλέον ο Δεινόστρατος απέδειξε ότι το μήκος α είναι μέσο ανάλογο του τμήματος ΟΕ και του μήκους του τεταρτοκυκλίου ΑΓ.
