Ένα από τα πιό γνωστά παράδοξα του Ζήνωνα του Ελεάτη είναι αυτό του φτεροπόδαρου Αχιλλέα και της χελώνας.
Σε έναν αγώνα δρόμου π.χ. 500 μέτρων ανταγωνίζονται ο Αχιλλέας και μια χελώνα. Ο Αχιλλέας δίνει ένα προβάδισμα 100 μέτρων στη χελώνα σίγουρος για τη νίκη του. Ο Ζήνων ισχυρίστηκε και «απέδειξε» ότι θα νικήσει τερματίζοντας πρώτη, η χελώνα. Είμαι βέβαιος ότι θα διαφωνήσετε χωρίς επιφυλάξεις, όμως ας δούμε τον ισχυρισμό του Ζήνωνα.
Το σημείο εκκίνησης του Αχιλλέα είναι Α και της χελώνας είναι το σημείο Β που βρίσκεται 100 m πιο μπροστά. Δίνεται η εκκίνηση.
Μέχρι να καλύψει ο Αχιλλέας την απόσταση ΑΒ η χελώνα θα έχει μετακινηθεί στη θέση Γ, άρα θα προηγείται του Αχιλλέα.
Μέχρι να καλύψει ο Αχιλλέας την νέα διαφορά απόστασης ΒΓ η χελώνα θα έχει μετακινηθεί στη θέση Δ, άρα θα προηγείται του Αχιλλέα.
Με τον ίδιο τρόπο όταν ο Αχιλλέας θα πάει στο Δ η χελώνα θα έχει μετακινηθεί στο Ε, άρα θα προηγείται του Αχιλλέα, κ.ο.κ.
Άρα η χελώνα προηγείται διαρκώς του Αχιλλέα, συνεπώς θα τερματίσει πρώτη.
Άραγε που βρίσκεται το λάθος;
Ο Bernard Russell 24 αιώνες αργότερα προσέγγισε το ζήτημα από διαφορετική οπτική γωνία. Θεώρησε ότι το Τμήμα ΑΒ της διαδρομής σαν σύνολο άπειρων σημείων (θέσης), το ίδιο και το τμήμα ΒΓ, άρα θεώρησε ότι μπορεί να υπάρχει μια 1-1 αντιστοίχηση μεταξύ των σημείων των δύο διαστημάτων. Επομένως για κάθε μία θέση στην οποία βρίσκεται ο Αχιλλέας θα υπάρχει μια αντίστοιχη θέση της χελώνας που προηγείται. Έτσι κατά τον Russell, ο Ζήνωνας μας φέρνει αντιμέτωπους με το εξής παράδοξο: ο αριθμός των σημείων από όπου πέρασε ο Αχιλλέας είναι ίσος με τον αριθμό των σημείων που πέρασε η χελώνα. Αν λοιπόν κάποια στιγμή ο Αχιλλέας φτάσει τη χελώνα, θα πρέπει ο Αχιλλέας να διανύσει περισσότερα σημεία θέσης από τη χελώνα. Αυτό όμως είναι μια αντίφαση, η οποία οφείλεται στην χαρακτηριστική ιδιότητα των απειροσυνόλων, όπως απέδειξε ο Cantor. Τα δύο απειροσύνολα είναι ισοδύναμα (έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων) παρόλα αυτά το ένα είναι μεγαλύτερο από το άλλο. (βλ. άπειρο – απειροστό – όριο)
Ποια είναι η αλήθεια; (Με λίγα μαθηματικά.)
Είναι βέβαιο ότι ο Αχιλλέας είναι ταχύτερος από την χελώνα. Αν υποθέσουμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι είναι 10 φορές πιο ταχύς απ’ ότι είναι η χελώνα, τότε το διάστημα ΑΒ θα είναι δεκαπλάσιο του ΒΓ, το οποίο θα είναι δεκαπλάσιο του ΓΔ κ.ο.κ.
Έτσι λοιπόν ο Αχιλλέας θα τρέχει με την σταθερή ταχύτητά του πλησιάζοντας διαρκώς τη χελώνα και θα διανύει τμηματικά την απόσταση μέτρων μέχρι να συναντήσει τη χελώνα. (Είναι το άθροισμα των άπειρων όρων φθίνουσας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο το 100 και λόγο 0,1). Άρα με την παραδοχή ότι ο Αχιλλέας είναι 10 μόνο φορές ταχύτερος από τη χελώνα, που θα έχει προβάδισμα 100 μέτρων, η χελώνα θα τερματίσει πρώτη μόνο αν η συνολική διαδρομή είναι μικρότερη από 111,11… μέτρα, αλλιώς θα τερματίσει πρώτος ο Αχιλλέας.